（〇）

在切入正题之前，我先在这里留存《中小学数学要义》读者1群这两天的部分留言。

上图摘自《中小学数学要义》

蒲：你们有没有发现，《中小学数学要义》一开头就为低年级学生引入了“函数化”思想。但风云老师并未点明，为什么？不能用术语吓着孩子。潜移默化更滋润。

截图中的平移变换，写成f(x)=x+2；伸缩变换，写成f(x)=2x。对不对？

x即“整条数轴”，书中插图刻画出变换前后数轴上点的位置变化。这样的刻画，比起将函数单纯理解为在坐标平面上的函数图像，更加深刻。

拒绝“提前学之碎片化”，我选择主线贯通，请点击：

《中小学数学要义》最大的亮点是什么？

（一）

白板示例照片credit: LI Jia

蒲：一般说来，我们要的就是“基本概念”四个字，成人抓住这四个字就没问题。问题是，儿童脑发育、心理发育有其规律。要让孩子感到“数学好玩”才行。

顺便说一句，家长最应该做的，是在家里配置黑板（白板），小马扎搬起，聆听孩子开讲。黑板能有多大，孩子的思路就能有多宽广。

范：确实，用过那么多教学工具，最好用的还是黑板。主要是图片和文字可以无缝链接，而且 remark 可以灵活地插空写。

蒲：期待群里家长分享给孩子录制的小黑板开讲短视频。在大脑里，“看得懂”是一套编码系统，“能讲出来”是另一套编码系统。

李：费曼学习法。

（二）

关于超校掐尖、早培选拔之卷，我辈没有资格定性批判。至少，自家需要先仔细读一读至少一张选拔卷，从中吸取一些自己所需的营养，找出差距。根据自家情况，再做选择。

截图试题解、注来自公众号“数形结何”。

我非数学专业，要我来解这些题，我肝儿颤。谢谢何老师题解、注！我仅从“基本概念”、“数学好玩”来点评。

把玩中的“分合捨展”（量之Abel群及量之数乘，可归入基本线性变换），分别对应“减法、加法、除法、乘法”。捨同折，折叠，对应除法。

绳子是可以折叠的，一根绳子，做个Z字（N字）折，各段等长。

绳子是一维折叠

纸张是二维折叠。通常，邻边对齐的对折带来角平分。

也就是说，折绳子、折纸能吸引低年级学生触及高年级的概念，先动手做出来，再指称。鼓励孩子用自己的话来表达。

观察有限小数，可以尝试将分子放大10倍、100倍、1000倍，看能否整除。

引入“有序数对”思想，是引入关键的基本概念。

生活常识，很多例子需要从生活中来

商是最小的三位数，这里用99而不用100的道理何在？

通常序结构，会碰到“界”、“确界”这样的基本概念，它们比（不等式表达的）度量更为基本。

先将“一倍量”明确下来，再解比例。

如果前提是底面积扩大5倍，或者是高扩大5倍呢？

只选择其中一部分变，而其它部分固定不变，这种partial思想也很基础。

欢迎来玩七巧板（多巧板）拼图。玩折纸。“彼此重合的东西，彼此相等”，“同构意义下的相等”，旋转对称，对称图形的“自同构”。等等。

不清楚这题考什么。一般说来，带余除法（整数除法）会将我引向“有限数系的循环”，将我引向同余等价类

群论四公理，好比《几何原本》五公理。很多基本的几何证明，需要基于五公理。很多基本的代数证明，需要基于四公理。

如果说，孩子们学几何，需要将《几何原本》五条公理贴到家里的墙上；那么，孩子们学习代数，也需要将群论四条公理贴到家里墙上。

至于群论要学多深入才够，看孩子自己的兴趣吧。抽象思维的绽放（脑神经密集连接）通常在11岁之后。

不清楚能否转换到图或表上来运算，例如，特征值矩阵？。一般说来，信息量够大的先确定下来，以此为抓手，扩展能明确的部分。

我很想把线性方程改写为向量的叠加与数乘，也就是开头说的“分合捨展”。不过，这个方程改写后，越发复杂了样。

解比例？

特征值矩阵？思路同19题？

3号不是第四，1号不是第四，4号也不是第四，那么，只有2号第四咯。

阴影部分的形状是易变的，但作为“面积差”，它的面积是稳定的。

将易变的转化为稳定的，将拓扑的转化为代数的。

七巧板玩的是平面上的“等积变形”，形状易变而面积不变。

这种算是3D拼图吧。思路跟七巧板拼图类似。

我将其视为某种“计数问题”，我觉得满足条件的组合还有好些。例如，(4×5)与(3×7)。我可能哪里理解错了。

解比例？

几何初步？

界与确界？

模掉了（modular）什么？

0.5≡n(mod 0.01)

0.50≡n(mod 0.001)

0.500≡n(mod 0.0001)

有限数系的循环，模算术，是值得学习的基本概念

一般说来，整除关系是一种偏序关系。前面多次提及，界、确界，也就是界的极致问题。

复合/因子化”思想，这个我是支持的。把路径画出来，我们能看到“殊途同归”。