[题目](2022年，北京高三下学期开学摸底考模拟卷，10)在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=√2，OC=1，P是△ABC上任意一点，设OP与平面ABC所成的角为x，OP=y，则y关于x的函数关系的图象为（  ）。

 

[答案]B

 

[解析]过点O做面ABC的垂线，垂足为O′。连接O′P，则∠OPO′即为OP与平面ABC所成的角。由于OO′⊥O′P，所以

下面，我们来计算OO′的长度。

 

方法一：空间向量法

在点O建立空间直角坐标系，则有A(√2,0,0)，B(0,√2,0)，C(0,0,1)。

由于AB=(-√2,√2,0)=√2(-1,1,0)，BC=(0,-√2,1)，所以面ABC的法向量m为

面ABC的方程为，

从而，原点到面ABC的距离为，

于是有，

其中x∈[0,π/2]。

又由于点P在△ABC内，所以当点P取点A或点B时，OP与面ABC所成角最小。该最小值为，

即x的最小值为π/6。故选B。

 

方法二：等体积法。

根据勾股定理，△ABC的各边边长为√3,√3和2。因此，△ABC的面积为，

又由于三棱锥O-ABC的体积为，

以及

所以OO′的长度为，

后续同前。

 

[题目](2022年，北京高三下学期开学摸底考模拟卷，15)关于曲线

的下列说法，其中正确的序号是        。

①关于原点对称；

②是封闭图形，面积大于2π；

③不是封闭图形，与圆O：x²+y²=2无公共点；

④与曲线D：|x|+|y|=2√2的四个交点恰为正方形的四个顶点。

 

[答案]①③④

 

[解析]关于选项①：将x=-x，y=-y代入曲线C的方程，方程不变，即曲线C关于原点对称。因此，选项①正确。

 

关于选项②：曲线C的图像，如图所示。它不是封闭图形。因此，选项②错误。

关于选项③：曲线C的图像，如上图所示。它不是封闭图形，且与圆O：x²+y²=2无公共点。因此，选项③正确。

 

关于选项④：曲线C与|x|+|y|=2√2的四个交点恰为正方形的四个顶点。因此，选项④正确。

综上，选项①③④正确，选项②错误。故填入①③④。