有计划参加今年的AMC12的学生，从暑假开始就必须开始做备赛规划了。我近期将挑选几道AMC12真题做一些分析和点评，希望能对大家有所启发和思考。

这个系列一共写了七篇文章，目的并不在于全面地介绍AMC12的情况，而更多地是反映我个人的喜好和感受。七篇文章的链接如下：

《【AMC12题选】绝对值运算，简单和复杂只有一线之隔》

本文作为这个系列的完结篇，我将对前文中留作思考题的几道题目进行分析点评。按照时间顺序，首先出场的是第二篇文章《【AMC12题选】吓死人的质因数分解》中的思考题：

对所有大于1的整数n，定义pow(n)为能整除n的最大质数的最大的幂。例如，pow(144)=pow(2⁴×3²)=3²。使2010^m整除下面的数的整数m最大是多少？

这道题虽然被排在第25题，但难度确实不算太大，文章的读者留言也已经给出了答案。下面我简略地做一下分析。

由于2010=2×3×5×67，所以我们只需分别确定2, 3, 5, 67在连乘积中出现的次数。

首先计算2出现的次数。根据pow()的定义，如果某个n使得pow(n)的表达式中出现2的幂，则2必须是n的最大的质因数。显然，只有当n是2的幂时才能满足这个条件。

小于5300的最大的2的幂是2¹²=4096，所以连乘积中2的出现次数是1+2+···+12=78。

已经超过了2的出现次数，所以无需继续找下去了。

5的出现次数的计算是完全类似的。形如2^p×3^q×5的数已经多达41个，即对应的5的出现次数为41次。应该不难推测总的出现次数会大于78。有兴趣的童鞋可以具体算一下具体的数值，这里就不浪费篇幅了。

最后是67的出现次数。形如m×67的数，当m≤67时，67都是最大的质因数。这些数导致的67的出现次数是68次。当m>67时，如果m是质数，67就不是最大的质因数；如果m不是质数，67就是最大的质因数（请注意m的最大值是79）。对于后者，m的取值可以是68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78，一共9个。所以67的出现次数总共是68+9=77次。

综上所述，67出现的次数最少，是77次，所以m的最大值是77。特别需要注意的是，2的出现次数也仅仅比67多一次。

下一题是第三篇文章《【AMC12题选】多项式，根在哪里？》的思考题：

把根的这些特性与多项式的值恒非负结合起来看，可以推出三个实根的重数都是偶数，从而都是二重根。于是我们可以把6次多项式写成

x⁶-10x⁵+29x⁴-4x³+ax²-(bx+c)=(x³+px²+qx+r)².

分别比较等式两边的5次、4次、3次项的系数，可得

2p=-10,

p²+2q=29,

2(r+pq)=-4.

不难解出p=-5, q=2, r=8。要具体求出三个实根的值，就必须对x³-5x²+2x+8进行因式分解。这个过程需要用一点因式分解的经验，最终可得到

x³-5x²+2x+8=(x+1)(x-2)(x-4),

再下一题是第四篇文章《【AMC12题选】把题目读透，解题就完成了一半》的思考题：

设x和y是两个不相等的非零实数，且满足等式

接下来是第五篇文章《【AMC12题选】“时间困难”的问题——起点很近，终点很远》的思考题：

记G为所有具有以下形式的多项式P(z)构成的集合：

由于50的正约数有1, 2, 5, 10, 25, 50，所以需要分别对每个正约数列出符合要求的所有根，然后进行组合得到相应的多项式。下面仅对5和10两种情形列出满足要求的根如下：

5：±2±i, ±1±2i, ±5

10：±3±i, ±1±3i, ±10

第六篇文章《【AMC12题选】令人心惊的第15题》的思考题我就不分析点评了。在没有时间恐慌的情况下，大家可以慢慢数一下有多少条不同的路径。

最后来看一下第七篇文章《【AMC12题选】绝对值运算，简单和复杂只有一线之隔》的思考题：

定义函数

f(x)=log₁₀(sin(πx)·sin(2πx)·sin(3πx)···sin(8πx)).