小高组的真题和解析。

详细解析

第一题

假设两个分子分别为x和y，即x/6+y/337=2021/2022。

因为2022=6×337，两边通分可得：337x+6y=2021

这是个含两个未知数的不定方程，但由于限定了x, y都是整数，所以可以求解（不一定有解，也不一定是唯一解）。

第一种方法是从x=1开始逐个去试（为什么不从y开始呢？因为y的系数6太小了），试验到x=5，可以得出y=56。而x=6时, y=0。因此，只有x=5和y=56一组解。

另一种方法可以用同余。两边同时除以6的余数相等。由于337=6×56+1，因此左边除以6的余数就等于x除以6的余数，用同余式写成：

337x+6y≡x (mod 6)

而2021≡5 (mod 6)

由于0

第二题

不好意思，这题我不会做，感觉题目漏了条件。

第三题

这题就是考察最基本的三角形面积公式。如图，连接A₁B, C₁D，E₁F。假如正六边形的1/6面积为a的话，那外部各个三角形的面积如图，总计是7.5a, 所以，整个面积为2.25。

更多的面积问题可以参考我的文章《万字长文：面积问题怎么求解？》（买过《给孩子的数学解题思维课》一书的就不用付费阅读了，书里有）。

第四题

这题2021换成别的数也一样。没别的，就是要对2021分解质因数。不过，对2021分解质因数还不那么容易。

我们知道，45×45=2025>2021，因此，如果2021是合数的话，那一定有一个小于45的质因数。通过尝试，发现2021=43×47。

下面就看1×2×...×2022能被多少个47整除。由于2022÷47=43...1，因此其中有43个47的倍数，但没有47^2的倍数，因此，k=43。

关于更多质数的话题，可以参考我的文章《孤独而高冷的素数》。

第五题

这题考察整体思维和极限思维。关于这两种及更多的数学思维，可以读我的书《给孩子的数学思维课》。

注意到一场比赛不管胜负情况如何，总是贡献1分（一胜一负和两平都是1分），10个人一共要比赛45场比赛，所有人的分数之和为45分。

由于第一名和第二名都没有输，因此第一名和第二名应该打平。第一名最多得8.5分，第二名最多只能是8分。第三名最多是16.5-10=6.5分。

设S₁, S₂, ...，S₁₀分别表示第1名到第10名的得分，则有：

S₁≤8.5， S₂≤8，S₃≤6.5，S₇+S8+S₉+S₁₀=S4≤6，S₅≤5.5，S₆≤5

S₁+S₂+ ...+S₁₀≤8.5+8+6.5+6×2+5.5+5=45.5

而总分应该是45分，这说明S3只能是6.5分，否则总分就小于45分了。

事实上，据此可以得出前六名的得分分别为：8.5，8，6.5，6，5.5，4.5。

第六题

这题如果不学乘法原理，直接分类枚举找规律也行。

100~199之内：

100，101，102，...，108

110，111，112，...，118

...

180，181，182，...，188

共计：9×9个

同理，200~299，300~399，...，800~899也各有9×9个

因此，一共有9×9×8=648个。

当然，如果学过乘法原理，那就是百位有1~8这8种填法，十位和个位各有0~8这9种填法，一共有8×9×9=648种。

按照枚举的过程或乘法原理的分析，我们看到：

百位的1~8分别出现了9×9次；

十位的0~8分别出现了8×9次；

个位的0~8分别出现了8×9次；

由于1+2+3+...+8=36，因此总和为：

36×100×9×9+36×10×8×9+36×8×9=320112.