【答案】75．

【解析】x × y × z = 2020 - 7 = 2013 = 3 × 11 × 61，所以x + y + z = 3 + 11 + 61 = 75．

- 2 -如图所示，由O点引出的6条射线形成的角满足

【答案】24．

【解析】甲区有六个交点，每个交点产生4个角，除了互相垂直的情况，都会产生2个锐角；而6组相交，最多只能有一处垂直（若有2处，则加上O点会连接成一个有2个直角的三角形），故至少有5 × 2 = 10个锐角；

乙区6条射线，任意2条可组成1个角，共C（6，2）= 15个角，其中只有∠MON = 18° × 5 = 90°为直角，其余14个角均为锐角．

综述，共有锐角10 + 14 = 24个．

【答案】3．

【解析】考察一共有多少个因子“5”．两位数中含2个因子5的数有25、50、75三个，都含有数字5，故最多只能采用一个，含1个因子5的数则要求个位是5或0．所以乘积中最多有2 + 1 = 3个因子5，即结尾最多只能有3个连续的0．取两位数25和40，其乘积为1000，可满足要求，故答案为3．

- 4 -

边长分别为8厘米和6厘米的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起连接AF交BD于P．则四边形BPFE的面积是________平方厘米．

【解法二】

【答案】1023456987．

【解析】使前7位最小，得1023456XXX，末3位的数字为7、8、9，有A(3，3) = 6种排列方式，故第6个数为最大的那个：1023456987．

- 6 

-一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的浓度变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的浓度将变为________%．

【答案】10．

【解析1】设每次加入的水为1份，

分析第二次加水这个动作，

【答案】71428928571．

【解析】1000000 ÷ 7 = 142857…1，故

S = 7 × 1 + 7 × 2 + … + 7 × 142857 

= 7 × ( 1 + 2 + ⋯ + 142857)

= 7 × 142857 × 142858 ÷ 2

= 999999 × 71429

= 71429000000 - 71429

= 71428928571

- 8 -

今年，祖父的年龄是小学生明明年龄的6倍．几年后，祖父的年龄将是明明年龄的5倍．又过几年以后，祖父的年龄又将是明明年龄的4倍．祖父今年是________岁．

【答案】72．

【解析】利用年龄的差不变．祖父的年龄是小学生明明年龄的6倍，意味着年龄差是明明年龄的5倍；即年龄差是5的倍数．同样的理由，年龄差也是4和3的倍数，即年龄差为5、4、3的公倍数，即60的倍数．当年龄差为60岁时，今年明明的年龄是60 ÷ 5 = 12（岁），正是小学生的年龄，爷爷为12 × 6 = 72（岁）．若年龄差为120或更大时，明明的年龄与小学生不符．

- 9 -

如图是一个容积为30立方厘米的正方体铁皮盒被剪去一个“角”后的平面展开图（图中相同字母表示长度相等的线段）．各侧面剪掉的三个阴影三角形的面积分别为2平方厘米、3平方厘米、3平方厘米，则该铁皮盒最多能装________立方厘米的水．

【答案】28．

【答案】20．

【解析】设五年级选手有m人，则比赛场数为

二、解答题（11~15题）

- 11 -

⑴ 证明：BE = PE；

⑵ 求四边形PKML的面积．

⑴ 试举一个鹏程三角形的实例；

⑵ 证明：不存在周长为2020的鹏程三角形；

⑶ 证明：鹏程三角形一定不是直角三角形．

【解析】

⑴ 三边长为3、5、7（开放式答案，满足2条即可：①质数，②较小的2个数之和大于最大的数）；

⑵ 若三个质数均为奇数，则其和为奇数+奇数+奇数=奇数≠2020，故3个质数中必须包括一个偶数质数，即2，另外质数为奇数，且不相等，所以它们的差≥2，不满足三角形“两边之差小于第三边”的性质，即不存在周长为2020的鹏程三角形；

⑶ 证明：假设存在鹏程三角形是直角三角形，三边长a，b，c为3个质数，并满足a² + b² = c²；因为奇数+奇数≠奇数，a²，b²，c²中必须有一个是偶数，即必须有一条边的长度为2，此时另外2条边的长度为不相等的奇数质数，其差≥2，不能与边长2组成三角形，矛盾，

故假设不成立，鹏程三角形一定不是直角三角形．

- 15 -

在一块平地上站着n个人，对每个人来说，他到其他人的距离均不相同，当有火灾信号发出时，每人都用水枪击中距他最近的人。

⑴ 当n = 2020时，请你举例说明，可能每个人身上都是湿的；

⑵ 当n = 2021时，证明至少有一个人身上是干的．

【解析】

⑴ n为偶数，可以两两近距离配对，分成1010组互相射击，可以使每个人身上都是湿的．

⑵ 证明一：

① 每人都用水枪击中距他最近的人，所有这些“最近的距离”一定存在最大值，不妨设A击中B的距离是最大的．

② 若B击中其他人，则无人射向A，则A身上是干的．
若B也击中A，则称AB配对，去掉A、B，在剩下的人中重复第①步．

每次操作，要么发现了保持干的人，要么成对地去掉2人．

因为n是奇数，所以不可能通过去除2人全部去掉，所以必然至少有1个人是干的．

证明二：

① 两两之间的距离中，一定存在着最小值，不妨设A和B的距离是最近的，显然A击中B，B击中A．

② 若剩余的人中，有人击中A或B，则导致A或B被击中了2次，则一定有人没有被集中，是干的．
若剩余的人都没有击中A或B，则去掉A、B，在剩下的人中重复第①步．

每次操作，要么证明一定有保持干的人，要么成对地去掉2人．

因为n是奇数，所以不可能通过去除2人全部去掉，所以必然至少有1个人是干的．