一、填空题（1~10题）

两个质数与1之和等于2020，则这两个质数的积等于________．

【答案】4034．

【解析】a + b + 1 = 2020，a + b = 2019，a、b为一奇数一偶数，偶数为唯一的偶质数2，奇数为2017，乘积2 × 2017 = 4034．

2.一颗参天大树，树干周长为3米。地上有一根常青藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高那么，这根常青藤至少有________米．

【答案】25．

【解析】树干作为圆柱体，绕了5圈，说明水平方向转动了5圈，即3 × 5 = 15米，高为20米，说明竖直方向上升了20米．根据勾股定理，勾3股4弦5，15和20分别是3和4的5倍，所以虅长是弦5的5倍，为25米．

若正整数n使得3n – 4，4n – 5和5n – 3都是质数，则这三个质数的乘积等于________．

【答案】42．

【解析】(5n – 3) – (3n – 4) = 2n + 1，为奇数，故3n – 4和5n – 3奇偶性不同，其中小的那个是偶质数2，故3n – 4 = 2，n = 2，此时3个数为2，3，7，乘积2 × 3 × 7 = 42．

4.被2，3，4，5，6除都余1且被7整除的自然数中最小的一个是________．

【答案】301．

【解析】这个数除以2，3，4，5，6余1，那么这个数减1就是2，3，4，5，6的公倍数，就是60的倍数，

所以这个数可以为61、121、181、241、301、……；第一个7的倍数是301．

如图，在一个大正方形纸片中，剪出两个带阴影的正方形：一个为甲，另一个为乙．已知甲的面积是16 cm², 则乙的面积是________ cm²．

【答案】18．

【解析】甲为右上三角形的4/9，乙为左下角三角形的2/4 = 1/2，甲∶乙 = (4/9):(1/2) = 8:9，故乙为16 ÷ 8 × 9 =18 cm²．

甲、乙汽车分别从A，B两站同时出发相向而行，两车第一次在距A站32千米的C处相遇，相遇后两车继续行进，各自到达B，A两站后，立即沿原路返回，第二次在距A站64千米的D处相遇，则A，B两站的距离是________千米．

【答案】80．

【解析】设全程为x千米，分析甲、乙、甲 + 乙在各段的行程：

一队少年儿童不超过50人，围成一圈做游戏，每个儿童的左、右相邻的都恰是一个男孩和一个女孩．则这队少年儿童最多有________人．

【答案】48．

【解析】设有一个男生，左右为一男一女，不妨设左边为男生，即环形队列以“男男女”开始，则接下来可以推导出依次是女男男女女……，4人一个循环，连接上开头，故人数为4的倍数．50以内4的倍数最大是48．

一个长方体，长 : 宽 = 2 : 1，宽 : 高 = 3 : 2．如果长方体所有棱长之和是220厘米，则长方体的体积是________立方厘米．

【答案】4500．

【解析】化公比，长 : 宽 : 高 = 6 : 3 : 2，又长 + 宽 + 高 = 220 ÷ 4 = 55，

可解得长 = 30，宽 = 15，高 = 10，体积为30 × 15 × 10 = 4500（立方厘米）．

战斗在抗击“新冠肺炎”第一线的钟南山院士出生的公元年份数是个完全平方数，那么今年（2020年）钟院士已经是________岁高龄．

【答案】32.4

【解析】小于2020的平方数一次为1936、1849、……，显然1936是一个合理的年份，

钟院士的年龄为2020 – 1936 = 84（岁）．

由一条公路对A，B，C，D四个居民点依次开通四条道路（如图）．已知沿道路→公路→道路移动，由A到B的路程等于9千米，由A到C的路程等于13千米，由B到C的路程等于8千米，而由B到D的路程等于14千米．则由A到D的路程等于________千米．

【答案】19．

【解析1：代数法】

把公路上的3段分别标为x，y，z，根据题意可知：

a + x + b = 9，……①

a + x + y + c = 13，……②

b + y + c = 8，……③

b + y + z + d = 14，……④

待求的A到D的路程为a + x + y + z + d，不包含b和c，故可先将方程组中的b、c消去，

c只出现2处，最少，可以先消去c，② – ③得：

a + x – b = 5……⑤

把⑤式分别与①式和④式相加，可以消去b，发现与④相加直接得到

a + x + y + z + d =19（千米）．

【解析2：直接分析】

AD = AC – BC + BD = 13 – 8 + 14 = 19（千米）．

二、解答题（11~15题）

小明在一张平面曲边薄板的边缘上选取5个点A、P、B、C、D，如图所示．已知AB//DC且AB = DC．连接PD交AB于E，连接PC交AB于F，连接EC．已知⊿PAE的面积为1.5，⊿PBF的面积为2.5，求⊿CEF的面积．

为什么S⊿PDC - S⊿PAB，S⊿PAD + S⊿PBC和S⊿ADE + S⊿BCE都是平行四边形ABCD面积的一半？

请聪明的你自己探索吧！

对于任意的n个自然数，总能选出其中的4个数a，b，c，d，使得(a – b)(c – d)被2020整除．试确定n的最小值，简述你的理由．

【答案】102．

【解析】本题考查抽屉原理．2020 = 101 × 20．当有102个自然数时，它们除以101的余数只有101种情况，

所以必有两个数余数相同，不妨设为a、b，则(a – b)是101的倍数，

去掉a、b，此时还剩下100个数，它们除以20的余数有20种情况，

所以至少有2个相同，不妨设为c，d，则(c – d)是20的倍数，

故(a – b)(c – d)是2020的倍数．

若只有101个数，我们取1~101，发现没有一个差是101的倍数，

所以(a – b)(c – d)也不能是2020的倍数，101个数是不行的．

综上所述，n的最小值为102．

100人参加象棋单循环赛，每两人都对弈一局且决出胜负．

⑴ 求总共对弈多少局？

⑵ 证明：比赛结束后，一定可以将这 100个人列为一队，使得队列中的每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人！

解：⑴ 100 × (100 – 1) ÷ 2 = 4950．

⑵ 证明，用一步一步增加人数的方法：

① 先在100个人里任选2人，将2人按胜者在前排列，即符合“每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人”的要求，队列可记为a₁，a₂；

② 再从剩余的人中任选一人，若其战胜了a₁，则排在a₁前面；若其输给a₁，战胜了a₂，则排在a₁和a₂之间，若其输给了a₂，则排在最后；我们把新的队列重新按顺序记为a₁，a₂，a₃，其仍然符合“每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人”的要求．

③ 用②的方法逐个往队列里面加人，直到把所有的人都排入队列，这个队列满足“每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人”的要求．

得证．