第二题同样给出了两种解法，第一种是孩子们能够想到的暴力枚举，但至少需要手动计算11~25的平方——这些平方数高年级孩子应该是烂熟于心的，但同样的要求放到四年级孩子身上就有些过分。这里还没有考虑到孩子能否顺利意识到除以15的余数一定是每15个一周期的规律。

第二种解法事实上是把高年级运用余数性质解题的简单做法用中年级能明白的方式做了个下放。15=3×5，所以分别讨论除以3和5的余数，5的余数可以看个位判断，再利用解数字谜的末位分析法判断出A的个位，然后逐个筛选除以3的余数。工作量比第一种方法小，但不是那么好想。

其实这道题到了五年级，学习了余数的运算性质和同余、剩余理论之后，很容易就能出答案了。A的平方除以15余1，即除以3和5都余1，从而A除以3余1或2，除以5余1或4。两位数共90个，有2/3的数满足除以3的余数，有2/5的数满足除以5的余数，90×2/3×2/5=24，直接得到结果。

不是说出题的时候一定不能降维打击，但涉及到孩子完全没学习过的知识点，只能用毫无美感的方式暴力枚举，实在是有些失之偏颇了。

第三题比较中规中矩的标数法，就不说了。关于标数法，之前我写过一两篇文章详细解读其原理和应用，有兴趣的同学们可以去参考阅读一下。

一道AMC12试题——小学标数法的巧妙运用

学会透过现象看本质——一道YCB计数题的命题杂谈

然后就说到了第四题。

讲一讲我自己的心路历程，首先尝试用小学方法，对称，旋转，花了10分钟没想出来。然后我注意到AB=DF这个条件常规方法应该不好构造，于是决定先做一个答案出来，画了个平行四边形，证了个全等，按照初中解兰利角问题的标准思路，构造了一个36、72、72的黄金三角形，求出来答案是54°。

——但就是想不出小学做法，于是跟挺多老师展开了讨论。最终是学而思的尹杰老师找到了原题及答案。原题是2021年日本奥林匹克数学竞赛的试题，一字未改。

解法上面提供了，这里就不赘述。非常感谢几位老师提供的思路、信息与帮助。

但即便如此，我仍然不觉得这是一道小学题。

虽然这是一道日奥赛的小学六年级组题，但日本小学数学竞赛跟国内的考察内容本来就有所差异。日本的小学奥赛和初中升学测试中，对于几何的考察是包含全等这一知识点的——而在国内这是毫无疑问的初中内容。借鉴友邦的试题固然没有问题，但完全不考虑知识点学习的差异，甚至还把这道题放到了中年级组，实在是有些残忍而过分了。同时，正五边形的构造依然涉及到特殊角和黄金三角形，这并不是小学会接触到的角度计算，而是初中竞赛的考点。哪怕题目能讲到小学生听明白，也不代表这可以作为一道小学题。——说实话，每年北京高考的最后一题都是组合数学，不会用到什么高中知识，我每年都给我小学的学生讲过，程度好一点的孩子都能听明白，但那能是小学题吗？

最后说一下很多家长和孩子问到的问题：考场上能用量角器直接量出来吗？

作为填空题，当然是可以的。甚至很多时候我都会鼓励孩子遇到比较复杂的几何题，若是填空，完全可以先做出标准图，测量得到关键的长度或者比再去做。若是解答，也可以先测量出特殊值，再做“逆向工程”。只是这道题在不知道答案的情况下，无法做出标准图。

——不过题图给的还是挺标准的，可以直接拿量角器在屏幕上去量，但这是后话。

第五题的构造其实还是比较巧妙的，考察抽屉原理。由于给的数是1~15，所以根据和为16分成8组是容易想到的，所以最大的理论值是8。只是这8个数的选法是唯一且可行的，就比较考验孩子的技巧了。并非是从每组中各挑1个，任意挑选的8个数都能满足要求，必须从“一定选8”出发，利用9和25的两个平方数之和排除其他，得到唯一解。——不过我猜很多孩子分完组就直接答8了，阴差阳错也是对的。如果我出这类题，一般会给一个无法构造理论最值的情形，笑。

第六题我倒是不觉得有多难，一看就知道是1024了。但昨天半夜里尹杰老师过来问我这道题，说他没想明白，我就意识到可能没那么简单。

其实这道题跟第一题有点首尾呼应的意思，就是”平均数“究竟是在算什么。

平均数的计算中，被平均的其实是差，是把几个量的差平均分给每一个数，这也是所谓移多补少的思路。所以，这个题只要明确这一点，就能很直观的看出来每次求平均的过程，都会让两数之间的差减半。那么想要一直操作下去，就需要差不断除以2之后仍是偶数，只能是2的乘方了。

想说的点是，很多问题就题讲题的时候，有很多种不同的方法，但如果不能真正讲明白这类问题的本质，那碰到一些难题的巧妙运用，就容易想不到核心方法，一筹莫展了。

最后就是一个吐槽：这个题显然是2002年的陈题，看命题风格像俄罗斯那边的数学竞赛。但明明这个题把2002改成2022，不影响任何结果，为什么组卷的时候连这一个数字都不肯动笔改改呢？

只能一声叹息了。