知识点4，应用题

应用题版块包括了小学中年级的经典应用题以外，分比应用题，工程问题，浓度问题，经济利润问题都是需要掌握的。这个模块其实密考是重点，华杯会考，但不多，考的一般也不难。

大家做完一个模块需要对这个模块的题型做一个梳理，以工程问题为例，分以下一些题型：1.比例型，2.承包方案型，3.多人合作型，4.鸡兔同笼型，5.来回帮忙型，6.轮流工作型，7.效率变化型，8.最值型，9.注排水型，10.牛吃草型，11.行程类型，12.中途离开或加入型。。。这些题型基本上相对固定，想掌握也不难，难在题型太多，每一种题型下面又有很多小的题型分支，需要大量刷题才能把每一种题型的不同题目都刷一遍。

此外要多提一句浓度问题，很多同学只会用十字交叉（所谓的浓度三角）解决浓度问题，这样学习基本上就是套公式，啥也不会，题目一稍微难一点，基本上就不会做。因为这类连自己仅会的十字交叉都根本不知道是如何推导来的。所以建议大家慎用，至少要搞清楚原理。并且有未经证实的传言，有的学校密考大题用十字交叉（浓度三角）解题会被扣过程分。浓度问题需要掌握的方法也比较多，1.公式法，2.方程法，3.十字交叉，4.比例法（找不变量），5.倒推法，6.列表法，7.神交换等等

经济利润问题题型也很多，各个公式之间的逻辑要搞清楚，比如50%的利润率代表每投入100元就赚50元，那么100是成本，也是分母；50是利润也是分子，那么公式就出来了：利润率＝利润÷成本，所以利润率的公式根本不用记。经济利润问题的其他公式之间也可以互推，公式与公式之间的联系还是很紧密的。

对于应用题模块的练习需要长期坚持，例如每日打卡型的安排做题任务会比较好，比如每天四五道题目，刚开始难度也不用太大，这样比较轻松。坚持两个月下来也会练到两百多道题目。可以刷《高思导引》，也可以刷《疯狂的小奥》都行。

知识点5，数论

高斯说过"数学是科学的女王，而数论是数学的女王”，数论在竞赛体系的地位是举足轻重的，因此也是占比最大的模块之一。数论的内容很多，包括但不限于1.因倍质合，2.整除与余数,3.物不知数，4.完全平方数，5.不定方程，6.位值原理与进位制，等等

想学好数论，那么第一步一定是要先把数论的基础知识全部搞定，每一个定理和理论的由来和推导一定要搞清楚。比如因数个数定理，很多同学都会背指数加一再相乘，但是根本不知道为啥这样。每一个知识点都在强调一个问题，就是一定要搞清楚原理，除了极小一部分涉及高等数学的内容，小学99%的定理、公式小学生都可以弄清楚原理。

解数论题目除了需要玄之又玄的数感以外，小奥的数论在一定程度上也算是有迹可循的一类题目。做很多数论题目的第一步就是对题目进行翻译，就是需要把文字语言翻译成数学的语言。接下来再根据翻译的代数式或者等式进行处理就行了。

所以学习数论就是先弄清楚各个定理原理的推导，搞清楚内在本质，然后不断地练习如何翻译题目，并且会对翻译后的等式进行加工处理，把上面两个做好了，基本上数论会变成你最爱的题目，因为只要是数论题，你就能拿分。

知识点6，计数+组合

计数对很多同学来说都很头疼，总是做不对。因为计数对思维缜密性要求较高，一定要思路清晰。其实计数很重要的就是枚举法，很多同学以为自己特别会小学生枚举大法，实际上根本不会枚举，枚举最重要的是分类有序，不重不漏。其中分类和有序需要同时都有，但是很多同学并不清楚到底什么是分类和有序，所以在枚举中常常出错。

除了枚举以外，加乘原理，排列组合，容斥原理，归纳递推都是需要掌握的，当然这下面还有很多细分方法，比如树状枚举，标数法，传球法，插空，捆绑，挡板，卡塔兰数等等。排列组合这个模块高考也考，只要小奥学得好，这个知识点应付高考绰绰有余。只是很多同学其实根本分不清自己在干嘛，如果说要辨别是否真正懂基础计数的方法，那么只需要完全弄懂下面这个 我们讲义上面的例题即可。

再说说组合，组合其实是挺麻烦的一个板块，很多时候并不是那么有迹可循，所以更依靠随机应变，难度也就更大。但这也是华杯占比比较重要的模块之一。组合包括策略类问题，操作找规律，抽屉原理，最值问题，数列与数表，构造与论证等等问题。我们以最值问题为例，学过小奥的同学都知道和一定，差小积大；积一定，差小和小。但是为什么呢？知道这个原理的小学生并不多，如果这些原理都懂的话，不仅有利于现在的做题，而且将来学均值不等式也会变得很容易。因为要证明这个不仅可以用完全平方公式来解释，还可以利用数形结合的思路去证明。除了会证明原理还要体会如何从中举一反三，比如1，2，3，4，5，6各一个组成三位数×三位数，最大是多少，最小是多少？那么用1，2，3，4，5组成一个三位数×一个两位数呢？最大和最小又分别是多少呢？要从这种题目中去体会题目的变化，并且找到方法去解决这种题目的变化。甚至学生平时可以自己出题或者改编题给自己做。

总的来说组合和计数的题目都挺有趣的，可以先做猜想答案再做论证；也可以操作一下，枚举找规律；也可以从简单入手，化繁为简，把题目变简单去找到题目的本质所在再去解题。

知识点7，数学思想

数学是一座智慧的城堡，探索则是打开城堡大门的钥匙。数学思想这个是绝大部分机构并没有的课程，其实我们的大纲里面也没有专门讲数学思想，都是放在一些具体的题目里面的，但其实很多同学并没有形成对应的体系化。好像提到的时候好像自己听说过这种思想，也学过。数学思想确实也应该是潜移默化的影响，成为我们思维的一部分，可能会比较隐蔽，但却是很重要的一部分。

小奥阶段常见的数学思想包括但不限于：整体思想；等量代换及换元；从反面思考；对称思想；对应思想；设而不求；极限思想等等。这些做题思想可能是需要慢慢积累，总结下来的，春季也大概会开一个数学思想的短期班，比如在五一或者其他时间。

第三步：具体规划

以上基本上简单介绍了一下各个版块的内容和学习，但好像有一点偏题了。我们接下来说回怎么操作。

第一步就是练好基础的计算，尽量在3月份之前完成这个事情，四五月份就逐步练习计算难题。一定要拥有超强的计算速度和超高的准确率，保证自己华杯考试的计算不丢分。

第二步就是完善各个模块的基础知识搭建，查漏补缺。把各个模块的基础知识和基本题型搞定。其实，如果机构的体系健全的话，只需要把例题完全搞懂就行了。什么叫完全搞懂？这个概念其实比较模糊，很多同学好像认为自己会做就是懂了。但会做很多时候往往只是表象，更重要的是懂这道题背后的知识体系和题目本身的切入点以及整个的解题逻辑。我们平时例题重做的时候有的同学就只是背答案然后重做一遍，这样的重做其实是无效的。这个对学生本身要求比较高，一些家长也会以让学生讲题的方式来检验是否真的弄懂，这个方法其实是不错的办法，只是费时间一点。但如果能自己自律的话，效率会高很多，也是最好的情况。即自己诚实清楚自己是否真的弄懂题目，没懂的想办法弄懂，懂了的其实根本没必要费时间再去做一遍，但要做到这一点挺难的。

第三步就是刷往年真题，最近几年的二十套真题是有必要刷的。刷完之后分类整理，也可以在刷的时候去补自己的知识点漏洞，边刷边学，边刷边总结做题方法。刷题可以考虑分类刷，和刷套题结合起来。刷题需要刷两遍半是最好的，第一遍可以按各知识点的模块来刷，刷完后第二遍可以按一整套一整套地来刷，限定时间。最后半遍是把之前的错题拿出来再重做一遍。真题可以从三月份开始刷，一周一个模块，基础不够好也可以慢一点，刷十套也可以，关键是要刷透。

如果把以上都尽量不要打太多折扣完成了，我觉得达到华二的实力基本上问题不大。但是很多同学完成每一个任务都打五折，要知道0.5×0.5×0.5=0.125。只需要认真踏实把学过的所有题目都搞懂，我觉得华杯不会有太多问题。只是很多家长报很多机构，学生为了应付肤浅地刷很多题，也确实很难给到建议，因为我也不确定我就一定对，此外不识庐山真面目，只缘身在此山中，也是人之常情。

第四步：声明及建议

再次声明：因为我认为小学不必那么卷，而且一直有一些家长跟我认为的一样，不是非要考华杯不可。数学确实很重要，重要程度跟体育一样。除了正常的课后作业以外，一般平时的例题重做和额外的练习也不会强制完成，主要靠自己选择，这个其实也是一个筛选。路有千万条，并不代表走这条路就高级多少，不走这条路就没前途。人生选择太多了，随着社会发展，学历逐步贬值，很难回到万般皆下品惟有读书高的年代。而且我们的共产主义奋斗的目标之一也是革命没有高低贵贱之分，只有分工不同。我们提供这些，并且写这篇文章只是给要走这条路的家长一些建议和帮助，如果走不了的话随时可以放弃，身心健康比啥都重要。

所以最后再给大家重复一下一些建议：

1.无论学什么，都要搞清楚背后的原理、逻辑和本质

2.没有最好的，只有最适合自己的，做任何选择都是

3.slow is smooth，smooth is fast. 踏实稳重最好，切勿急功近利，特别是时间充裕的情况下

4.不必焦虑，不必焦虑，不必焦虑，没有人的一生是在小升初确定的，华杯不是一切，也决定不了一切，甚至小升初没它也不是不可以

当然，建议只是建议，采不采纳就看自己了。