【真题】深圳鹏程杯2014年六年级题（第一届）
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北京小升初 这家伙很懒，还没有设置简介
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一、填空题（满分60分，每小题6分）
3、如图，10个圆的半径相等，已知阴影部分的面积是48平方厘米，这10个圆的面积之和是多少平方厘米？（π取3.14）
4、桌子上的盘子里放着60块饼干，5个孩子用它来招待客人，每个孩子从盘子里给每个自己认识的客人拿了1块饼干，然后，客人也从盘子里给每个不认识的孩子拿了1块饼干，此时，盘子里的饼干刚好被拿空，在场一共有多少个客人？
5、将一个大正方体积木的六个面都染成红色，然后将这个大正方体切割成n^3个小正方体积木，已知至少有2个面为红色的小积木共有44块，则6个面都没染红的小正方体积木共有多少块？
6、电子钟指示时刻由00:00:00到23:59:59，每个时刻显示1秒钟，如图显示的时刻有两个数字0，那么，在一昼夜期间钟表上显示3个数字7的时刻共有多少秒？
8、已知a与b是互质的自然数，且小于50，则满足1/7 9、一个6位的自然数ABCBCA是7的倍数，则2B+C的最大值等于？ 10、已知3个不同的正整数a、b、c它们两两互质，且其中任二数之和都能被第三个数整除，则(a³+b³+c³)/(a²+b²+c²)=？ 12、小明家离外婆家有2500米的路程，其中平路占1/5，到外婆家上山路是下山路的2/3，小明从家出发，用50分钟到达外婆家，已知小明上山路的速度比平路慢20%，下山路的速度比平路快20%，照这样计算，小明从外婆家返回家里要走多少分钟？ 14、为了准备参加“鹏程杯”数学邀请赛，小明用5天时间共做了31道练习题，每天做题的数量都比前一天有所增加，如果他第一天做题量是第五天的三分之一，那么他第四天做了几道题？简述你的理由。 1、计算： 答案：1584。 数字谜题，寻找解题突破口。观察，等式结果的最高位为2，百位是0，可知，A=1，即BBB+CC-D=2014-1111=903，同理，结果最高位为9，十位为0，可知，B=8，即CC-D=903-888=15，因十位为1，个位要向前进位，得C=2，D=7。 每个孩子认识的客人数加不认识的客人数的和相等，60÷5=12（个）。 通过题中信息“至少有2个面为红色的小积木共有44块”可求出，2个面为红色的小积木共有44-8=36（块），可求出每条棱上上共有积木36÷12+2=5（块），即n=5，则6个面都没染红的小正方体积木共有(5-2)³=27（块）。 9+4+1+4+2=20（个）。 另：对于正方形点阵，有公式如下： 比较与估算题。根据题意可知6a a=1时，b无解； a=2时，b=13； a=3时，b=19、20； a=4时，b=25、27； a=5时，b=31、32、33、34； a=6时，b=37、41； a=7时，b=43、44、45、46、47、48； a=8时，b=49。 所以a/b共有18个结果：2/13、3/19、3/20、4/25，4/27、5/31、5/32、5/33、5/34、6/37，6/41、7/43、7/44、7/45、7/46、7/47、7/48、8/49。 解法一： ABCBCA=100000A+10000B+1000C+100B+10C+A=100001A+10100B+1010C=(14285×7+6)A+(1442×7+6)B+(144×7+2)C。ABCBCA是7的倍数，可知6A+6B+2C是7的倍数。要使2B+C值最大，假设B=9,C=9，此时6B+2C=72，除以7余2，6A如果可取除以7余5的值，则假设成立，经测算，A取2时满足条件。得：2B+C的最大值等于27。 解法二： 因1001是7的倍数，考察一个数是不是7的倍数，可以三位一截，从右向左，用偶数项减奇数项，所得结果除以7与原数同余。 3个数两两互质，且其中任二数之和都能被第三数整除，结果只有1、2、3。 证明：设a>b>c，则2a>b+c，即(b+c)/a<2，由已知(b+c)/a是正整数，故只能(b+c)/a=1，于是a=b+c。因a+c可被b整除，b+2c可被b整除，2c可被b整除。因b、c互质，要使2c被b整除，b只能等于2或1，因b>c，且c是正整数，所以b取2，c取1，a取3。 设长方形纸片宽为a，共分4种情况讨论： 情况A，a=1/4×200=50厘米 情况B，a=2/5×200=80厘米 情况C，a=3/5×200=120厘米 情况D，a=3/4×200=150厘米 通过题意，可知到外婆家的路程中：平路有2500×1/5=500米，上山路有(2500-500)÷(2+3)×2=800米，下山路有2500-500-800=1200米。列张表格清楚得到结果为53+1/3分钟。 第一步，连接AH、AC、CF。因E、F将AB三等分，G、H将CD三等分，所以S△AHC=2/3S△ADC，S△AFC=2/3S△ABC，所以S（四边形AFCH）=S△AHC+S△AFC=2/3（S△ADC+S△ABC）=2/3S（四边形ABCD）=20cm²。 第二步，连接HF。因S△EHF=1/2S△AFH，S△FHG=1/2 S△CFH，S（四边形EFGH）=S△EHF+S△FHG=1/2(S△AFH+S△CFH)=1/2 S（四边形AFCH）=1/2×20cm²=10cm²。 设第一天做题数为a，第五天做题数为3a，因为每天做题的数量都要比前一天有所增加，所以第二、三、四天至少为a+1、a+2、a+3，即7a+6≤31，a≤25/7，a=1或2或3。验证1或2均不能符合题意，所以a=3。即第一天做3题，第五天做9题。第二、三、四天共做题19题。在4、5、6、7、8中选3个数凑成19，只能是4、7、8或5、6、8，第四天做题数只能为8。 15、如果存在连续的n个非零自然数，每个数的质因数分解式（相同的质因数都写成乘方的形式）中，所有质数的指数都是奇数，这样的n个连续自然数称作一组“n的梅花数”， 例如：13=13¹、14=2¹×7¹、15=3¹×5¹就是一组“3朵梅花数”． (2) 试确定n的最大值，并说明理由。 因4个连续自然数中，必有2个偶数，而2个连续偶数，必有一个是4的倍数，即必有一个质因数2的指数是3或更高次，可找到2³×（1或某质数）¹，然后前后寻找符合条件的数，即可找到“4朵梅花数”。 (2) 每8个连续自然数中，必有一个是8的倍数，假设此数为X，X+4或X-4必然在这个连续自然数列中，而此数可被4整除，不能被8整除，分解质因数会出现2²。所以，梅花数中n最大为7。如：29、30、31、32、33、34、35。
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