寒假高思导引讲解专场（一）

寒假高思导引讲解专场（二）

高思导引该怎么刷？附寒假讲解专场（三）

今天讲两道六年级的数论题，其实也适合四五年级有潜力的孩子做。

第一题是六年级第15讲数论综合一拓展篇第14题。

第一个条件，每隔2个孔跳一步，最后能跳到B孔，满足这样的孔的个数最少是4个，再往上多一点，就是7个，10个...

因此，是4，7，10，13，...

第二个条件，每隔4个孔跳一步，也跳到B孔，满足这样的孔的个数为：6，11，16，...

第三个条件，每隔6个孔跳一步，最后回到A孔，满足这样的孔的个数为：7，14，21，...

根据条件1和2可知，孔的数量减去1是3和5的倍数，也就是15的倍数。

因此，孔的数量候选为16，31，46，61，76，91

而根据条件3，我们知道，孔的数量是7的倍数，因此只有91满足要求。

当然，这个题如果普适化一下，就是中国剩余定理，也就是：

一个数（大于10小于100）除以3余1，除以5余1，除以7余0，请问这个数是多少？

关于中国剩余定理的详细讲解，可以参考我下面的文章：

奥数冠军教你如何解题

或者读我新书《给孩子的数学解题思维课》最后的综合案例。

第二题来自于六年级第19讲进位制超越篇的第4题。

一共6个数，按照选择的数的多少，可以分为：

（1）只选1个，有6种；

（2）只选2个，有6×5÷2=15种；

（3）选3个，有6×5×4÷(3×2×1)=20种；

（4）选4个，有15种；

（5）选5个，有6种；

（6）选6个，有1种；

一共：6+15+20+15+6+1=63种。（当然，也可以直接通过2^6-1得到结果，也就是每个数都可以选或不选，因此有2^6种，去掉一个数都不选的情况）

问题是，这些和有没有相同的？

注意到1=3^0, 3=3^1, 9=3^2, 27=3^3, 81=3^4, 243=3^5

这事实上对应了三进制的表示。对于下面的三进制六位数，任意的一种选择就对应了某些位置1，另外一些位置0。

__ __ __ __ __ __

比如，选了1，9，27，243，就表示成三进制数101101，而选1和81就表示为：010001。

由于任何这样的两个六位三进制数都不相同，因此，这63种搭配的和必然不同。

第二问要算所有的和的总和。肯定不能把63个数都一个个加起来。

我们可以这么考虑，如果包括000000在内，那么一共有64个三进制数，因此所有的和就是：

000000+000001+000010+000011+...+111111

我们考虑每一位的1，出现了多少次。

比如，末位的1，如果选了1，末位就是1，而其它5个数可以随便选或不选，一共有32种情况；

同样的道理，对于从右往左数的1，对应于3，其它5个数可以随便选或不选，一共也是32种情况；

因此，总和为(1+3+9+27+81+243)×32=11648

第三问，将这些和从小到大排列，就是把这些3进制数从小到大排列。

000001，000010，....

如果我们把它看成二进制数的话，第45个就是45的二进制表示，即101101，

对应的三进制数为243+27+9+1=280。