数学奥林匹克小丛书--初中卷:三角形的外心

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正文



第七章   三角形的四心   

    本节重点: 三角形的重心、外心、内心、垂心及其基本性质
    我们可以证明:三角形的三条中线、三边的中垂线、三角的角平分线、三边的垂线各交于一点,本章节我们将学习重心、外心、内心及垂心的定义,并了解他们的具体性质和有用的定理。

    接下来介绍

  •  定义
三角形三边中垂线交于一点,称为外心
证明:由中垂线的性质易证.
  •  性质1
    三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等,且在各边的中垂线上;反之,到三角形的三个顶点距离相等的点一定是外心。
  •  性质2
    三角形的外心也是其外接圆的圆心,锐角三角形的外心在三角形内,钝角三角形的外心在三角形外,直角三角形的外心是斜边的中点。
若△ABC为锐角三角形,外心为O,有:
 若△BCD为钝角三角形,∠D为钝角,外心为O,有: 

 图片

    这个性质放在圆里面很好理解,本质上即同弧所对圆心角等于圆周角的两倍,故∠COB = 2∠A,得到锐角三角形的情形;∠D与∠A互补,从而得到钝角三角形的情形。
    下面来看一个例子:

图片

    很容易发现要证的△P’QB和△P’RC都是等腰三角形,等腰三角形证明相似只用证明顶角相等,那么此题就转化为一个处理角度代换的问题。

图片



拓展应用
1、教材例4、例5都类似用到了外心的性质2,建议同学独立完成并检查以巩固外心的知识点。
2、外心的其他基本性质:
图片


发布于 2024-04-23 13:10

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