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数学奥林匹克小丛书--初中卷：三角形的外心

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第七章 三角形的四心

本节重点：三角形的重心、外心、内心、垂心及其基本性质

我们可以证明：三角形的三条中线、三边的中垂线、三角的角平分线、三边的垂线各交于一点，本章节我们将学习重心、外心、内心及垂心的定义，并了解他们的具体性质和有用的定理。

接下来介绍外心：

定义

三角形三边中垂线交于一点，称为外心

证明：由中垂线的性质易证.

性质1

三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，且在各边的中垂线上；反之，到三角形的三个顶点距离相等的点一定是外心。

性质2

三角形的外心也是其外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心是斜边的中点。

若△ABC为锐角三角形，外心为O，有：

∠BOC=2∠A，∠AOC=2∠B，∠AOB=2∠C

若△BCD为钝角三角形，∠D为钝角，外心为O，有：

$∠BOC=360°-2∠D，∠DOC=2∠B，∠BOD=2∠C$

这个性质放在圆里面很好理解，本质上即同弧所对圆心角等于圆周角的两倍，故∠COB = 2∠A，得到锐角三角形的情形；∠D与∠A互补，从而得到钝角三角形的情形。

下面来看一个例子：

很容易发现要证的△P’QB和△P’RC都是等腰三角形，等腰三角形证明相似只用证明顶角相等，那么此题就转化为一个处理角度代换的问题。

拓展应用

1、教材例4、例5都类似用到了外心的性质2，建议同学独立完成并检查以巩固外心的知识点。

2、外心的其他基本性质：

发布于 2024-04-23 13:10

北京中学

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