一、知识点解析

因式分解的应用是非常广泛的，它主要有以下几个方面：

求值问题：对于多项式的求值，如果知道某个整体的值，，则可在多项式中分离出整体（因式），然后将整体的值代入；对于分式的求值问题，可将分子分母分别分解，然后约去相同的因式，使分式化简，然后再求值。

证明条件等式：在给定约数条件下，证明某等式恒成立，常可对条件等式中的多项式进行因式分解，使条件得到简化，进而推出有关结论。

整除问题：要证明某个数（式子）整除一个多项式，可将数（式子）和多项式分别分解，然后证明多项式的每一个因式被一个对应的数（式子）整除。

质数与合数问题：要证明一个多项式的值是合数，只须将多项式分解因式，然后证明每一个因式的值都是大于1的整数。

不定方程问题：将方程中含有的多项式因式分解，然后判别各因式取值的奇偶性，使问题获解。

完全平方数问题：要证明一个多项式的值是完全平方数，可将多项式因式分解，然后证明多项式的每一个因式都是完全平方数。

这部分主要考察学生的对因式分解应用的了解及掌握，这部分是因式分解综合应用。题型多样，题目复杂，要学好解题知识和技巧，才能保证在因式分解的应用方面的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

分析：因为120=5×3×2³，我们希望目标式的因式分别被5、3、8整除，但这是不可能的，因为n是任意正整数，再注意到5、3、8两两互质，所以只须证明目标式同时被5、3、8整除。这就要将分拆出一个常数（5的倍数），而另一部分可以分解成两个多项式（其差为1）的积。

解答：

例2

设n是正整数，证明：是57的倍数。

分析：想直接证明很有难度，但可另辟蹊径，先将目标式分解，使其中一部分含有系数57，而另一部分可被57整除。

解答：

例3

设整数a、b、a-b都不是3的倍数，证明：

是9的倍数。

例4

例5

设a、b、c是实数，a+b+c=2，，证明：a、b、c中至少有一个等于2.