数学奥林匹克小丛书初中卷1 - 因式分解

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总共上了七次课，把小蓝本部分过了一遍，整体来说没什么好讲的，只是一个计算技巧。

总的来说，我认为基础的分解有

\begin{align} x^2-y^2 &=(x-y)(x+y),\\ x^2+2xy+y^2&=(x+y)^2,\\ x^2-2xy+y^2&=(x-y)^2. \end{align}

后两个其实换个符号就行。此外稍微进阶一些的三次方和与三次方差

\begin{align} x^3+y^3 &=(x+y)(x^2-xy+y^2),\\ x^3-y^3 &=(x-y)(x^2+xy+y^2). \end{align}

这两个也是可以通过代换互相推导。

公式还有就是高次差

x^n-y^n =(x-y)(x^{n-1}+\cdots +y^{n-1}),

上课的时候把它和等比数列求和联系起来

1-q^n=(1-q)(1+q+\cdots +q^{n-1}),

从而

\sum_{k=0}^{n-1} q^k = (1-q^n)/(1-q)

然后最常用的也就是十字相乘法，给了很多练习，相对轻松。

不过好像给的太简单的，一些复杂的十字相乘，还有双十字相乘的练习少了。

关于其它的技巧，比如对称性，还有猜根，这些比较高阶，感觉掌握的不是很好。如果能学明白，理论上就可以推导Eisenstein判别法。

要求一定要熟悉的式子，除了前面提到的基础公式，还有比如

a^4+4b^4

的分解方法，也就是通过配方然后平方差。

海伦-秦九韶公式的因式分解我非常喜欢，但对上课仅作为了解。

S^2 = \frac{1}{4}\left(a^2c^2-\left(\frac{a^2-b^2+c^2}{2}\right)^2\right)=\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{-a+b+c}{2}\cdot \frac{a-b+c}{2}\cdot \frac{a+b-c}{2},

非常对称，在书中也作为对称性那章的习题给出了。

还有一些不等式问题导出的因式分解，完全平方可以直接得到基本不等式

(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0 \Rightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab},

柯西不等式也可以利用因式分解证明，这里给出二元的

(ay-bx)^2\geq 0 \Rightarrow (a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2,

还有三元的不等式，如

a+b+c\geq 0

时

\begin{aligned} &(a+b+c)\cdot \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\geq 0\\ \Rightarrow & a^3+b^3+c^3\geq 3abc, \end{aligned}

其它细节很多，就不一一列举了。

数学奥林匹克小丛书 初中卷1 - 因式分解