数论研究的是整数的性质，小奥竞赛必考内容，在初中高中的联赛中也会继续深入。小奥的数论就是初等数论中最简单的一部分，可初等数论不“初等”，这个东西就不是给普娃学的。

01

—

难点

数论第一个难点在于整体性：一般机构的数论的主线顺序是整除-质数与合数-因数与倍数-余数问题-位值原理-进位制/取整/不定方程/完全平方数，无论是怎么的学习顺序，孩子接受都会有一些问题，因为数论是一个大的整体，各知识点之间联系及其紧密，很多内容是互相定义。先学哪个都可以，先学哪个又不可以。

第一遍学习的时候，很多知识点理解起来会比较痛苦，甚至有一些老师会直接说，这是一个结论先记住，后面会讲。比如整除特征要用到位值原理，判断整除要看余数，质数合数的判定要依靠因数倍数，因数倍数里面又有分解质因数。所以，每学一个新的知识点时，都要想一下，这个知识点和以前相比的有哪些联系。

数论第二个难点在于抽象性：其他模块如果不明白，画个图也能解释，可绝大部分数论题目是极为抽象的，只能用代数的方法去推导，如果强行用一些方式去直观展现，是不符合学习路径的，也是舍本逐末的方法。

数论第三个难点在于困难性：现在很多小奥的数论题，都是当年的初联甚至高联题目，如果打开初中的小蓝本，会发现目录还是那些东西。小奥区分度最高的两个模块就是组合和数论，即使到了高联二试，也是代数、平几、数论、组合四大模块，数论、组合属于贯穿了小学、初中、高中整个竞赛过程的模块，也一直是最难的两个模块。如果一个孩子学不明白数论，那么大方承认是普娃。

数论第四个难点在于独立性：我们的初高中课内数学是初中重几何，高中重代数，但对于数论却只有极少的概念性扫盲，具体知识点几乎没有（组合也是类似，除了计数和概率，其他内容可以视为零）。这样就导致了两个困难，对于孩子来要学一个未来课内绝对不会考的知识点。对于非竞赛出身的家长来说，如果不重新学习可能连孩子都不如。所以很多高年级的家长在孩子面前也没有低年级的底气，我自己也是从0开始学习。

数论第五个难点在于跳跃性：数论表述极其简单，最难的题目一般人也能看懂，所以很多民科都喜欢数论。可“看似寻常最崎岖”，题干字越少的题目经常越难，能用的工具就那么几个，但是要解决的问题却很困难，解题过程还分好多步骤，再加上很多老师和解析喜欢跳步，中间一个环节没弄懂，可能要研究很久才能搞明白。

02

—

应对

前面说了那么多难点，也不是说只能束手无策，虽然数论看智商，可我们学习奥数就是要突破自己的天花板，也就是先确定自己学习的目标，因为目标不同需要付出的努力是不一样的。竞赛并不是一条捷径，绝大数人还是走综合，学习的难度要取决于目标考试的难度，比目标稍微高一些就可以。

解决数论的总体思想就是吃透概念，明白原理，适量刷题，降维打击。

一、学习路线

从学习进度来说，我认为数论至少要学习两遍，因为是自鸡，所以我们的学习一直都是模块化学习，数论作为最后一个模块，因为整体性太强，在短期内大火猛攻效果更好，如果像机构那样螺旋上升，可能过段时间遗忘了不少。其实所有的模块都可以集中学习，数论因为其特殊性效果尤其明显。

每一遍的侧重点不一样，第一遍侧重于进度，主要是快速过一遍，将概念和定理都弄明白，要注意的是，这里的明白是明白原理，而不是记住结论。课程难度选择机构的创新难度，习题用导引配套，因为导引的题目至少有20年的历史了，所以数论部分整体的难度偏低，达到五年级导引难度即可。

这一遍的目的就是了解概念，掌握方法，也为第二轮的拔高做铺垫。如果目标只是机构的高端班型、XSC或者分班考，那么这个难度已经足够，是投入产出比最高的方案，没有必要再往下深入了。

这一遍的重点就是底层逻辑的培养，这是能做出难题的前提，也是我们学习小奥的目标之一。奥数里面的概念很多，方法也很多，看起来很复杂，其实学到最后就剩下那么些内容，每个模块都有各自的逻辑，只不过有的模块就算孩子没学明白底层逻辑，靠记忆也能做题，区别就是能做哪种难度的题目而已。

第二遍是将数论的知识点重新学习一遍，目标应对应机构的顶级班型、一线初中ZDB的XSC或者某些有含金量的比赛的高级别奖项。这一遍的难度要比第一轮高一个台阶，需要把第一遍中一些重要知识点全部推导一遍，并且要引入高阶的方法降维打击。比如为什么1既不是质数也不是合数，为什么质数有无数个，为什么分解质因数方式唯一，余数为什么不具有可除性，还是在一定前提下满足可除性？

另外根据孩子的接受程度补充高阶技巧，比如余数为负、欧拉函数、费马小定理、裴蜀定理等。这部分对大多数孩子来说就很难了。不过数论最讲逻辑，有的孩子无法理解，需要家长或者老师带着从头证明一下，如果证明实在困难，至少要记住结论和方法。

对于数论来说，如果不懂底层逻辑绝不可能学好，第二遍的目的就是体会数论这个模块到底是研究什么的。如何下定义，如何证明定理，有哪些推论，即使很多内容不考，或者老师不讲，也最好弄明白，因为这些是一个整体，而你在教材和上课学的内容太零散，终极目标就是能把各个知识点从头到尾讲一遍，到达这个程度就说明已经融会贯通了。

那么问题来了，能不能把两轮合并成一轮提高效率呢，对于非天牛来说几乎不可能。因为你不可能对一个知识点有了简单的认识后，马上就能解决复杂的问题。就像学了鸡兔同笼后未必马上就能解决浓度题目，虽然它们本质上就是一回事。所以两轮是必须的，而且至少是二轮。

二、参考资料

网课就不具体推荐了，经常提起的名师其实就那么几位，低难度用W老师的七大模块，高难度用S老师的三模块，此外Z老师，R老师，两位C老师和两位L老师的资源都可以看看，除了他们的常规课程，也可以他们针对杯赛的刷题班的数论部分。比较后就会发现，每位老师讲的方式都不一样，很难做出取舍，每听一位老师，就有一次收获。除了大白、导引作为练习册外，再额外推荐3本书，如果是主要是孩子学，就让孩子看，当然家长也能看最好。

第1本是科普，名称为《数学女王的邀请-初等数论入门》，这本书优点是内容非常有趣，并且篇幅不多，正好处于入门的难度，但是涵盖的内容很全，有时间可以翻翻，一般成年人几天就看完了。

第2本是必修，6年级的《明心资优教程》，明心资优一共4、5、6年级各一本，编写最好的就是6年级这本，厚度几乎是4、5年级的总和，所以没有时间和毅力的就不用买了。数论部分是6年级的压轴几讲，而且篇幅接近整本书的一半，可见明心对于数论的重视，相关部分如果能学习完，绝对有一个质的飞跃。除了基础的内容，拓展也有很多价值，比如“大衍求一术”。 

如果明心还觉得不过瘾，那么可以看第3本的选修，也就是初中小蓝本的数论那一册，全称为《2022数学奥林匹克小丛书初中卷6-整除同余与不定方程》。初中小蓝本一套8本，华东师范大学出版社出品，这本书在整个系列中属于比较经典的一本，作者是上海中学的校长。题目不多但是题题经典，解析也比较详细。如果看着有困难，可以找网课辅助学习，但最好先研究再看视频，否则几乎没有效果。

该书对于竞赛生属于入门难度，但是对于小学生来说难度非常高，不用全部掌握，对于孩子来说，可以挑一些自己能看懂的部分进行研究，大部分题目用来欣赏和开拓思路即可。对于家长的作用我会放在最后。

03

—

理念

在这部分会讲一下在第二遍学习中，各个知识点注意事项，在前面已经提高过，数论就是一个整体，先将哪个知识点都可以，我选取的是机构的常用顺序。

整除特征：所有机构都先讲整除，因为相对简单，任何一个数都有整除特征，小奥只讲了最简单的几种。无论是尾数系、和系、差系，都是围绕着10进制的特点来研究的。分别对应着10^n, 10^n-1和10^n+1。在这部分其实主要研究的就是余数和进位制。如果理解了，那么那些整除特征根本不用背。

【睿爸说明：

通过数学小组的练习和打卡批改，我发现有很多平时只是校优的娃数论知识储备相当贫瘠，或者是会的那一点也完全没有到条件反射的地步。

比如不少娃会犯计算的结果如果是分数，但没有化为最简分数的错误，甚至会忽略最基础的类似3的整除特征的检查，比如2022/9。

比如涉及到质数相关的问题，很多娃不知道应该先从偶质数2开始讨论。】

因倍质合：是数论的基础和重点内容，质合是基础，因倍是重点，分解质因数和公约数公倍数务必极其熟练，这里面每个知识点都有多种做法，在保证自己能够有一种最擅长的基础上，尽量熟练其他方法。另外最好学习一下欧拉函数，应对某些问题可以秒杀。

余数问题：绝对的难点，这里有不少可以降维的点。

比如余数范围的扩大，课内要求余数在0和除数之间，在数论里面，余数可以为负数，也可以比除数大，这样可以降低计算量，另外可以改变余数的奇偶性，方便化简。

比如同余式，要能够熟练进行加减乘除。

比如费马小定理，这个推导起来比较难，最基本的要求是记住结论，应对某些问题可以秒杀。

余数问题的重要性还体现在与其他模块的交叉，一般是计数+余数或者组合+余数，这些题目难度都非常高，如果想做出来务必对常见的余数处理技巧很熟悉。

不定方程：相对比较简单，小奥阶段的常用题型和做法就那么几种，如果有兴趣，可以了解一下裴蜀定理。

进位制：其实是一个很难的模块，能够很好区分孩子的天赋，小孩初学可能会不好理解，不过小奥范围内考的相对比较简单，进位制其实在计算、组合里面有很多应用，可以多了解下，也可以适当拓展，比如进制里面的小数如何表示。

位值原理：这是数论的基础，我是放在整除前面讲的，因为不讲位值原理的话，很多数论的内容不好解释，这个部分不难理解，小奥范围内也不会考的太难。

04

—

总结

有的家长觉得孩子不努力，要不知识点学不明白，要不过段时间就忘了。每当有这种想法，可以打开初中的数论小蓝本，学完以后再做题，那么以后面对孩子的时候，可能会更加心平气和一些。 

---

添加 家长论坛微信