无论是六小强，还是顶级的高校，都喜欢破格录取什么样的学生呢？

答案是：数学尖子！

数学的灵魂，是数学思想，而不是做题，您就是让华罗庚、陈景润做题，他们也做不出来，可是，他们是国际上知名的数学家，他们有数学思想。

怎么才能有数学思想呢？

数学思想，和数学计算、数学定理公式完全是两码事。

下面的这道题目，也许小学生一看就明白，也许高中生都弄不明白，这，就是数学思想。

数学的威力，不是为了干掉对手，而是为了让更多的人活命！

五个囚犯先后从100颗绿豆中抓绿豆，抓得最多和最少的人将被处死，不能交流，可以摸出剩下绿豆的数量，谁的存活几率最大？

提示：1、他们都是很聪明的人；

          2、他们的原则是先求保命，再去多杀人；

          3、100颗不必都分完，但要保证每人至少抓一颗；

          4、若有重复的情况，则也算最大和最小，一并处死。

在大家开始看答案之前，我必须指出：因为题目中没有“每个人都知道其他人也很聪明”这个条件，所以，不会出现A选96颗豆子这种情形。

下面是分析：

假设有3个人ABC，10个豆子，其他条件不变。

一开始B是非常紧张的，他开始了思考。

对他来讲，有上中下三种策略：

1.上策：自己活着

2.中策：全部死光光

3.下策：自己死了，但有其他人活着。

然后他就开始预测A的行为：

1.A如果拿8颗豆子，B拿1颗豆子，C拿1颗豆子,全死。

2.A如果拿7颗豆子，现在轮到B做选择了:

a.B如果拿1颗豆子，C不敢拿1颗，必然拿2颗,C独活。

b.B如果拿2颗豆子，C只能拿1颗，B独活。

c.因为B是个理性人，B这个小婊砸一定会拿2颗。AC死了。

3.A如果拿6颗，B就拿3颗；A如果拿5颗，B就拿4颗，都是B独活，AC死。（我真的不是在黑A站）

4.B已经找到了规律，那就是，让自己拿的数量在AC之间，就可以保证活。

想到此处，他不由得笑出声来。A冷冷的看了他一眼。

5.A如果拿4颗，现在轮到B做选择了：

a.如果B拿5颗，C只能拿1颗，A独活，BC死。

b.如果B拿4颗，C不论拿几颗，都是三人同死。

c.如果B拿3颗，C在得知前两人共拿7颗的情况下，选择拿3颗，三人同归于尽。

d.如果B拿2颗或1颗，C会选择拿3颗，C独活。AB死。

e.B惊奇的发现，不管怎么选，自己都会死。他是不会选择让C这个小婊砸活着的。

f.于是B选择了拿3颗。

6.A如果拿3颗，B略微思索了一下，也会选择三个人同归于尽。

7.A如果拿2颗，B会拿3颗，但是C哈哈一笑（C已经习惯了在B的脑洞中死亡），他不拿5颗，也不拿4颗，也不会拿1颗，他拿了3颗。三人同归于尽。

8.A如果拿一颗，那么（感谢@昌俊指正）

9.

a.B选1颗，3人同死

b.B选2颗，CC会选择三人同归于尽。

c.B选3颗或以上，C选AB的平均数。AC活，但B死，所以B不会做这个选择。

但是A也思考了上述的全部过程，A悲催的发现：如果B很聪明，不管自己怎么选，都是个死。

对，你去上面仔细看看，我们已经列举了所有的情况。

既然这样，A把希望寄托在B不是很聪明上面，他微微一笑，选了4颗豆子。

ABC卒。

我们归纳出一个定理：如果3个人有n个豆子， ，且A不知道B和C是不是理性的，他可以选择[n/3]，如果ABC三人都是理性的，他们会同归于尽。

时光荏苒，有个变态又抓到了4个人，ABCD，然后给了他们20颗豆子。

我们继续从如果A拿20颗豆子开始分析。

啊，不，还是直接写结论吧。

1.当A选择17个时，同归于尽。

2.当A选择16到6个时，B活着。A死。

3.当A选择5时，B选4，C选4，D选择4和大家同归于尽。

4.当A选择4时，B选5，C选4，D选择4和大家同归于尽。

5.。。。

6.A发现自己必死。于是他拿了5颗豆子，他寄希望于其他人高尚一些。

7.ABCD卒。

转眼到了2015年，题主抓住了5个人，给了他们100颗豆子。

第一个人深吸一口烟，吐出个烟圈，他拿了20个。

====程序员的分割线===

后来我又写了个程序，模拟了如下状况：

假设所有人都假设其他人的选择是随机的。

可能是因为每个人都假设其他人可能是聪明人，笨的人，高尚的人，自私的人，抑郁症患者等。

那么在所有的样本空间里（75287520种可能性），做出最有利于自己的选择：

100 left for A
A will chose 10
90 left for B
B will chose 11
79 left for C
C will chose 11
68 left for D
D will chose 10
58 left for E
E will chose 10

@王路：（忽略第二个要求：他们的原则是先求保命，再去多杀人）

数学上的解答，各位大牛已经详尽了。

此题还有逻辑上的简便方法。以及，数学之外的思考。

题干有个条件：“不能交流”。

由于假定每个囚犯都无比聪明，所以交流与否，不影响最终决策。

去掉“不能交流”，答案不会有任何变化。

当五个囚犯经过推理，都认定自己必死的时候，有人开始琢磨：

我的推理，都是建立在个人决策的基础上，假如可以结盟呢？我找两个人结盟，把剩下两个人搞死，不就可以了吗？

想到这里，a不禁沾沾自喜，看到了绝处逢生的希望，他对b、c、d、e说：

我虽然不能让你们生，但保证能让你们死。

（如果我给你们每人留1个，你们都会死。）

现在，上头要求至少提供两个死的名额，你们商量出个方案，只要保证我100%不死，我就配合。

如果不能保证，谁也活不了。

b听了，扭头对c、d、e说：

上头要求至少提供两个死的名额，a不能死，我也不能死，你们仨商量具体操作方案。

如果谁能让我、a、他都100%不死，同时，又让其他二人无论如何选择都无法左右我们三人的结盟，我和a就照办。

如果不存在，你们仨都会死（给你们都留1个）。

c对d、e说：上头要求至少提供两个死的名额，a、b、我，都不能死……

d、e说：开什么玩笑，你的意思不是让我俩死吗？你们爱谁死谁死！

a、b、c恍然发现，结盟的可能并不存在。

不存在一种结盟可以保证某人必活。

这个结论可以推广：

100个囚犯先后从10000颗绿豆中抓绿豆，抓得最多和最少的人将被处死——

结果一样：所有人都会死。

10000个囚犯先后从100000000颗绿豆中抓绿豆——

仍然一样：所有人都会死。

围观者曰：开玩笑吧？只是从10000人里挑最少和最多的，竟然每个人都会死，太可怕了吧？

答曰：是的。

为什么如此残酷？在于假定前提——

“每个人都利己，即便不利己，也要损人，损人意味着局部利己。”

这样的假定下，唯一的结果就是大家都死。

假如世界上每个人都是先求利己，利己不成的情况下求损人的话，世界马上就完蛋，谁也活不了。

既然如此，为什么我们现在活得好好的呢？

因为真实的世界放松了假定。

放松的第一处是：并不是每个人都绝顶聪明。

第二处是：每个人也许都想利己，但不是必然要求损人。

现在考虑，其他条件不变，一点点放松第二处假定，看结果如何变化：

a想：唉，我这么聪明的人，竟然必有一死，既然横竖都是死，别人死不死关我鸟事，随便抓一把，去他娘的！

抓了一把，一看：5个。

轮到b，b一摸，发现a抓了5个，心想：

哟，这家伙居然不是心黑到顶。

我最利己的抓法是几个呢？4个。

如果我抓4个，c、d、e会抓几个？都是4个。

（5、4、4、4、4）

结果是，大家都死掉。

想到这里，b倒吸了一口冷气：想不到我这么聪明的人，即便a不陷害，也逃不了一死，真是天命、天命啊！随便抓吧。

抓了17个。

剩下c、d、e，没得选了，出于利己优先的原则，都选平均数，抓11个。

（5、17、11、11、11）

a、b都死了，后三人活了。

这意味着，只要前面两人不存心害人，后面人就能活得很好。

但先行者的牺牲是难免的。

原始人问现代人：凭啥我们茹毛饮血你们吃香喝辣？

现代人说：凭你投胎早啊。

原始人说：老子得不到的，孙子们也别想得到。

不繁殖了，就没有现代人了。

但要注意：b的死亡跟a还不一样。

a的死亡，在放松假定后很容易避免。

b的死亡，则难以避免，并有最大的悲剧意义。

在a随机抓了5个的情况下：

假定a抓5个是为保证剩下的绿豆够前人的平均数，正因为有不够平均数的可能，b有能力拯救a。

假如b抓的比a多，他一定是因为抓得最多而死掉。

假如b抓得比a少，他一定是因为抓得最少而死掉。

后来者仅仅出于利己，就会都选平均数。

哪怕cde只为利己，不为害人，b都非死不可。

a的死看起来和b类似，其实有重要不同。

a可以用他的死彰显自己的高尚或卑劣：

轮到b时，b发现a抓了96个，破口大骂：王八蛋，自己死就死了，还要拉上俺们垫背！真是烂人！

轮到b时，b发现a只抓了1个，感慨万千：好人呐，好人。脱离了低级趣味的人。

但是，a抓1个，虽然给其他人留了活命机会，但无论如何救不了b。

b最利己的抓法，是抓2个。

那么接下来，c、d、e、会毫不犹豫地都抓2个，同时破口大骂：b这个王八蛋！

因为（1，2，2，2，2），所有人都要死。

如果前两人只抓3个，无论如何，后三人死的责任都在b头上，哪怕a抓2、b抓1，c、d、e也是必死，他们的死，都是b导致的。

如果b抓50个就不会令他们都死。

b不管怎么抓，自己都得死，而且，没有办法证明自己是个好人。

b出于利己抓2反而损害了自己：非但不能活，还招来一堆唾骂。

b叹了一口气：既然横竖是死，与其死了挨骂，不如死了有人记得我的好。

抓了50个。

轮到c，发现筐里剩下45个，掐指一算，ab的平均数是27.5，他毫不犹豫地抓27。

轮到d，发现还剩18个，他想抓平均数27，不够了，只好抓了17个。

心里对e说：兄弟，对不住了，不是有意要害你，哥哥自身保命要紧。

（5、50、27、17、1）

b救了a、c、d，牺牲了自己。

c并不知道，自己的命是b救的，他抓的时候还怀疑ab分别抓了（28、27）。

d也不知道b救了他。e就更不知道了。

b的善意没人知道。

除了a

当a发现自己最终没死的时候，被b感动得痛哭流涕：好兄弟！

换言之，如果a足够聪明，他会想到，他的生死，可能决定在b手里。

比如：a抓5个，b有办法让a必活（抓90个）。

但是，这种决定，需要一个前提，即：b有报恩心态。

我们定义一下报恩心态：

弱报恩心态：如果别人表现出对我好，在不影响自利的前提下，我选择对他好。

强报恩心态：如果别人在可以对我坏的情况下，选择不对我坏，在不影响自利的前提下，如果我可以对他坏或不对他坏，则选择不对他坏。

由于报恩心态在世间是真实存在的，所以a存活的几率很大。

a只要不杀b，放b一马，b虽知必死，只要有强报恩心态，a就必活。

但世间存在的弱报恩心态比较普遍，强报恩心态相对较少。

如果我活着，让我对你好当然可以，我都死了，对你好不好我才不在乎呢。

换言之，a的存活取决于b是否具备强报恩心态。

而bcde是否必死，取决于a是否追求损人。

如果，a是个平庸但不卑鄙的人（只追求利己，不追求损人），则在后继者b有强报恩心态的情况下，会享受到先行者的红利。

否则，a会成为死在沙滩上的前浪。

所以，在真实的社会模型中（利己但未必损人的假定下），a一定不会选择抓96，让所有人都死掉。

而b，无论如何，既无法享受先行者的红利，也无法避开后继者的迫击，后人仅仅出于自利就会把他弄死。

除了先行者感谢他的不杀之恩外，没有人念他的好。

我们可以把这叫做：“老二的悲剧”。

现在假定，a是高尚的人。

先给高尚一个定义：

弱高尚：如果可以自利，就自利。

如果不能自利，利人也好。

这个定义并不严密，因为有时候自利牵涉到损人，严密的定义太复杂，故从略。

另外，报恩心态，也算是弱高尚的一个具体例子。

强高尚：利人和自利无区别。

强高尚在世人身上鲜少存在，一般只存在于有血缘关系的近亲或有宗教信仰的人身上。弱高尚则相对普遍。

假定a是弱高尚的人，他意识到，在世界上不存在其他高尚的人的情形下，自己难逃一死。

既然横竖都是死，不如，做个高尚的人。

a选择只抓1个。

这就意味着，a以一己之力，让全世界牺牲的概率最小。

但，这仅仅是概率，a的力量有限，他还需要另一个人的成全。

假如b是庸俗的人，会选抓2个。

c、d、e都是庸俗的人，都只抓2个。

（1，2，2，2，2）

全都死掉。

a虽然愿意拯救世界，但落空了。

但只要，b、c、d、e里，有一个人，愿意抓50个，就能救所有的人，除了自己和a。

a的死，是求仁得仁，自己的死，是舍生取义。

因为有两人选择主动牺牲，其他人都可以得救。

假如70亿人，先后从1000亿绿豆中抓绿豆，最多的和最少的会死掉的话，

只要存在2个以上高尚的人，世界就会得救。

地藏菩萨云：

地狱不空，誓不成佛。

我们所处的世界并非不险恶，不逐利。

但之所以没有塌陷，还能支撑许多庸凡的人平静地生活，正因为有聪明绝顶的人，在觉悟了世界的冰冷和绝望之后，自甘做出牺牲来消融世界的冰。

写在最后

黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号。”

认识数学，亦是认识自然。

---

② 知名机构人大附早早培（zzp）学前集训队-数学/神测和动手

① 华杯赛/华数之星真题试卷-解析版 附详细解题过程

② 迎春杯/青少年创新能力测试-解析版 附详细解题过程

③ 希望杯/希望数学-解析版 附详细解题过程

④ YMO世界青少年奥林匹克数学竞赛-解析版 附详细解题过程

⑦ 美国数学大联盟杯-解析版 附详细解题过程

⑧ 鹏程杯-解析版 附详细解题过程

①《人大附中早培海选必刷》《八中海选训练与解析》电子版教材

② 八少八素、人大附早培神测千题（上 下册）

③ 人大附、八中海选神测万题练习册及答案解析.pdf

④ 八少八素试题分享&人大附早培班试题分享+神测复习资料

② 朗思 iESOL 备考资料

北京高中： 

① 北京高考英语听力机考模拟试卷及答案、听力原文、音频

添加 家长论坛微信