华杯赛知识点考点分析：计算问题

一、计算模块命题特点分析结论

1、常考提取公因数与平方差公式

　　在第十三届、十四届华杯赛决赛中都考察到了提取公因数进行速算的方法，这里需要注意的是：计算会往分数计算方面侧重，整数计算涉及的可能性很小；平方差公式的灵活运用需要熟练掌握。

2、注意估算与取整为难点

　　以第十四届华杯赛决赛第9题和第15届华杯赛决赛第8题为例，估算是华杯赛计算中常考的题，对于加减符号交替变化的估算题，一般算式的前几项就决定了整个算式的大概范围。另外需要说明的是，对于初中下方的知识点取整，也属于估算的内容，这点是杯赛的热门，可能是考察的新方向，同学们需注意。

二、计算模块考察难度及考生获奖需要达到的程度

1、考察难度

　　计算题型常常作为第一题，因此难度不会很大，一般为2★难度左右。

　　对于估算，难度达到了3★，对于估算常用的方法不太熟悉就常常会因此而失分。

2、考生需要达到的程度

　　考生复习的时候，若提取公因数方法与平方差公式运用没太大问题，侧重点可以放在估算与取整上。要获奖，简单计算题是绝对不能丢分的。

华杯赛知识点考点分析：计数问题

一、计数模块命题特点分析结论

1、计数在近两年的出题频率降低

2008年及以前的华杯赛试题中，计数在每张试卷中大概出现两题左右，所占分值比例较高，但从09、10两年试题来看，计数的题目明显减少，数论中的整数拆分题目数量开始增多。但为了避免杯赛出现知识点“大年”和“小年”的状况，也避免今年回归到增加计数类型的题目，我们还是把计数中的华杯常考点需要进行梳理。

2、几何计数为常考点

　　【第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C第12题】

　　如图所示，图中有__________不同的三角形。

2007年第十二届华杯赛六年级初赛10分第9题】如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了________个三角形。 去掉的所有三角形的边长之和是________。

分析：关于几何计数，很好的综合考查了学生对几何图形的认知以及分类梳理的能力，而且这类题目出错的机率非常大，所以在处理该类问题的时候，建议学生可以放在考试的最后，所有题目处理完了再来做这类题目，免得花了太多时间最后因为一小点地方而得到了错误答案。几何计数的做题技巧：

　　（1）、从最单一的小图形出发开始计数

　　（2）、按照图形组合需要的个数来进行分类

　　（3）、最容易设置陷阱的地方有两点：直接有格点连接构成，图中没有现成的拼接，斜着放的图形。

3、对于枚举以及简单加乘要求高

　　【2009年第14届华杯赛初赛】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5.那么，可供每支球队选择的号码共（）个。

　　【2008年第13届华杯赛初赛】已知图是一个轴对称图形，若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称图形共有（）个。

分析：其实如果真的考察到这类题目，那么对于考生来说应该是无比幸运的一件事情。华杯赛的试题难度虽然大，但还是有20%-30%的题目属于比较基础的题目。对于小学阶段学生必须要具备思维的逻辑性、条理性和有序性的考察，计数是最合适的考查形式，所以对于基本的枚举法、简单的加乘原理学生必须要掌握的非常好。

二、计数模块考察难度及考生获奖需要达到的程度

1、考察难度：

　　几何计数4★；枚举及加乘1★。

2、考生需要达到的程度：

　　如果华杯赛想要获奖：

　　对于枚举以及简单加乘考察的题型必须全对，同时对于基础数论、容斥原理也要非常熟悉。计数往往不会以单独的知识点出题，会和其他模块稍作综合，但往往难度也不会很大，只要细心应该没有问题。

　　如果华杯赛想要获得一等奖：

　　一般几何计数以及排列组合能够学的非常好的同学，对于其他专题的学习能力也不会差。同时计数和数论、最值结合的题目往往难度较大，也会涉及到构造等5★题型，因此如果想要确保华杯赛一等奖，需要对计数综合题进行训练。

3、短时间如何备战：

　　对于基础中等的学生：以创新杯、希望杯、世奥等杯赛中的计数题作为训练就足以应付华杯赛中常规的计数题，只要考试时细心（要注意怎么打草稿哦）就ok了。

　　对于奥数程度非常好的学生：做计数、数论、构造的综合题型，同时对于几何计数这一块加强训练，平均每天训练1题5★甚至以上难度的题目，增强思维的训练就足够了。同时需要对过程的表达进行适度的训练，避免计数作为解答题出现。

华杯赛知识点考点分析：数论问题

1、问题考察频率较高

　　十四届第11题，十五届第10题连续两届对于约倍问题进行考察，且全部涉及最大公约数与最小公倍数的性质，可以预测约倍问题是今年备考的一个重点方向。

　　【第十四届华杯赛决赛第11题】已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270，求b与c的最小公倍数。

　　【第十五届华杯赛决赛第10题】右图是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连接B或者C。小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道周长是3米。开始时，A连接C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接。若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了____秒钟。

2、质合问题命中度高

　　十四届第6题，十五届第12题两次涉及质数合数与分解质因数的考点，有较大的预测意义。第一次简单考察分解质因数，第二次考察质数判别法，需要考生认真整理这一部分知识框架。

　　【第十四届华杯赛决赛第6题】已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C的最大值为？

　　【答案】：1626。

　　【第十五届华杯赛决赛第12题】华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112=1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。

　　【答案】：1163是质数，理由略。

3、数字谜与分数拆分思想在压轴题中的展现

　　十四届第14题，十五届第14题。对于数字谜的思想应该说华杯赛决赛已经考察了多次，但华杯赛侧重于借助数字谜的形式考察数论中整除、约倍以及余数的知识；分数拆分也是应对华杯赛数论考察的重要知识点，需要认真进行准备。

　　【第十四届华杯赛决赛第14题】，2011年“华杯赛”数学冬令营（北京）内部讲义（小学）P34例11）在图所示的乘法算式中，汉字分别代表1~9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。如果“祝”字是4，“贺”字是8，求出“华杯赛”所代表的三位整数。

　　【答案】159。

　　【十五届华杯赛决赛试题A卷第14题】已知两位自然数“”能被它的数字之积整除，求出“”代表的两位数。

　　【答案】11,12,15,24,36。

二、数论模块考察难度及考生获奖需要达到的程度

1、考察难度：

　　约倍问题4★；质合问题3★；数字谜与分数拆分5★。

2、考生需要达到的程度：

　　华杯赛对于数论模块考察的偏好众所周知，因此华杯赛获奖的一大必备条件就是数论模块的系统梳理与适量练习。

　　想获得华杯赛一等奖，必须要对这三类问题认识深刻，所谓“认识深刻”，指的是基本知识熟练，各种题型熟悉，复杂技巧掌握。

　　给各位考生提3点建议：第一，借助数论知识体系图进行系统梳理；第二，华杯赛历年数论真题演练2-3遍；第三，数论题目专题训练。

华杯赛知识点分布及难度分布

构造论证与最值：

　　一、整体比重

　　构造论证、极值问题在华杯赛中还是占有相当的比重。从十四、十五届决赛试卷来看，整体比重在16.7%。如第十届的第3和12题，十五届的9和11题，考的都是这种类型的试题。

　　二、知识点分布以及难度分布

　　构造论证、极值问题等问题考察知识点比较分散，从最近四年的试题来看，考察过的知识点主要有：

1、等差数列估算和极值问题；

2、操作问题-----划数、最大值最小值；

3、逻辑推理-----足球赛、数独；

4、构造问题------相间染色。

【考察难度】

　　所考知识点以中等试题为主，含个别难题，试题以3★、4★为主。学生基本上能下手，但是真正要得满分，还是需要加强各方面的训练！

【如何备战】

　　这类试题着眼于学生的逻辑分析能力，分类讨论能力，需要学生具备很强的综合能力。在具体备战的时候需要我们学生重点做到以下三点：

1、对比历届试卷（重点以最近四届为主），总结相应知识模块、沉淀出相应的方法；

2、重点培养分类讨论、逻辑分析能力；

3、重点攻破《第16届华杯赛赛前教程》相应知识模块，建议做前70%的试题；

4、训练这些试题的解题规范。

【最近四届试题分析】

[15届决赛]右图中有5个由4个1×1的正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

【答案】不能

　【知识点】染色分析+奇偶性分析

　【分析】将长方形黑白染色，将5个图形也进行黑白染色，如下图

除④号盖住3个黑的或者1个黑的，其它均盖住一黑一白，所以5个纸板只能盖住11个黑的或者9个黑的。矛盾！

　　【总结】此类题目难度不大，基本方法也是常规的黑白相间染色。但是对解题的步骤有很高的要求！

[15届决赛]足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分，若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？

　　【答案】7、5

　　【知识点】逻辑推理---足球赛

　　【分析】假设ABCDE5支队伍总分为abcde，则五队总分为a+b+c+d+e=20+e。易知单循环赛共10场，总得分不会超过30分。只要有一场比赛踢平，则总得分减少1分。A队一定是3负1平；B队有可能是4平或者1胜1平2负；C队一定是2胜1平1负；D队一定是2胜2平。所以比赛至少有 3场平局，至多有5场平局。最后总得分最多27分，最少25分。对应的E队伍最多7分，最少5分。

　　【总结】对这类题，考的是足球赛中的一些常识。需要我们学生对基本的结论很清楚。如总的场次、总分和平局数量的关系等等。

[14届决赛]将七位数“2468135”重复写287次组成一个2009位数“24681352468135…”。删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按照上述方法一直删除下去知道剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 ______。

　　【答案】2

　　【知识点】操作---划数

　　【分析】通过找规律可以发现，第一次留下的数是编号为2的倍数的数，第二次留下的数是编号为4的倍数的数，依次类推，到最后留下的数应该是最接近 2009的，而且能写成2n形式的数，应为第1024个，7个数为一个周期，1024÷7=146…2。对应周期的第二个数为2。

　　【总结】题目本身看着很难，但是通过找规律可以快速的找到方法。有的时候碰到很复杂的试题的时候，不妨通过找规律的方法哦。

[14届决赛]在50个连续的奇数1,3，5，…，99中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？

　　【答案】43

   【知识点】极值问题---等差数列

　　【分析】要使得个数尽量多，选的数尽量小即可。考虑前n个奇数的和1+3+5+…+（2n-1）=n2.

452=2025,442=1936。所以选的个数不能超过44个。但44个奇数的和必为偶数，矛盾！这样一来，最多只能取43个，而事实上是可以是实现的。只需要从1,3,5，89删去两个奇数即可！满足它们的和为89即可！

　　【总结】此题难度较大，需要学生具备估算能力、奇偶分析能力。

[13届决赛]黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是______。

　　【答案】2005

　　【知识点】极值问题---操作类

　　【分析】先求剩下的最大值，那么擦去的数应该尽量小，

　　首先擦去1,3，写上2，

　　擦去2,2，写生2，

　　擦去2,4，写上3，

……

　　擦去2006，2008，写上2007；

　　同理可知剩下的数最小为2。

　　所以最大值和最小值的差为2005。

　　【总结】此题需要学生自己去构造操作的方法。

[12届决赛]下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。请写出这个9位数，并且简单说明理由。

【答案】327468951.

　　【知识点】逻辑推理---数独

　　【分析】用（a，b）表示第a行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以方格（6，4）＝8；第3行和第5 行都有数字9，所以（7，4）＝9；正中的“小九宫”中已有数字7，所以只能是（3，4）＝7；此时，第4列中只余（5，4），这一列只有数字6未填，所以（5，4）＝6。所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是：327468951。

　　【总结】这种题型考察的是生活中常见的数独，只要我们的学生接触过这类题，整体难度不会很大。对数独，只要多接触，方法自然而然的就会成型。