华杯赛题，特别是复赛和决赛试题的含金量是很高的，其中有相当一部分题是非常好的原创题，极俱思考性。这源自华杯全国组委会有一个强大的试题原创团队，其成员组成非常丰富，有数学家，有大学数学教授，也有一线小学老师和教练。华杯赛题以思维考核著称，考量参赛者面对新问题的数学思维能力，活学活用，有独立思考独创思路的聪明孩子往往能脱颖而出。

  第三题：数论

       原题：

        在11！的所有因数中，可以表示为6k+1(其中k是自然数)的最大因数为多少？

       审题：

       11！念做“11的阶乘”，11！=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11。

独立思考之后再看解析，这很重要！

        分析：

        因数与倍数是数论类型题目的常见素材。

        假如a×b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。 反过来说，我们称c为a、b的倍数。在研究因数和倍数时，不考虑0。

        因数往往可以通过分解质因数来获得，但11！即是乘法形式，因数就由这些相乘的数中来。因数有很多，但要满足能表示为6k+1的因数却不容易找，而且还要找到最大的那一个。我们得分析满足这个关键条件--6k+1。能表示成“6k+1”的数一定是个奇数而不是偶数，也就是一定不含有因数2；同样可知一定不是3的倍数，即不含有因数3。

        那我们暂且可以将因数中含有的“2”“3”都去掉，再看看剩下的因数是否能组合成能表示成为6k+1的数了。

        由于11=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11，去掉其中所有因数“2”“3”之后剩下5×5×7×11。

        于是，答案就在不远处了。

        解答：

        1、5×5×7×11=1925，1925÷6=320......5    不合题意

        2、5×7×11=385，385÷6=64......1              符合题意

附录：

       数论

       数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。

       数论早期称为算术。到20世纪初，才开始使用数论的名称，而算术一词则表示“基本运算”，不过在20世纪的后半，有部份数学家仍会用“算术”一词来表示数论。1952年时数学家Harold Davenport仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”。

       公元前300年，古希腊数学家欧几里德证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。寻找一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式，是古典数论最主要的问题之一。

       数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特、Heegner等人发展的。