13.已知平面上圆  在圆  的内部. 证明平面上存在点  满足如下条件: 若  是一条不过  的直线, 且  与  交于不同的两点 , 与  交于不同的两点  (其中  在  上顺次排列), 则 .

14.已知正实数  满足：对任意正整数  均有 . 求证：存在正整数  使得

15.给定整数 . 求满足下列两个条件的所有  元整数 数组  : (1)  是奇数, , 且  是整数；(2) 存在  个  元整数数组  , 满足对任意  都存 在  使得

第二天

16.求所有的正整数 , 使得平面直角坐标系中存在有限多 个重心为整点的三角形, 其中任意两个三角形的交集或 为空集, 或为一个公共顶点, 或为连接两个公共顶点的 边, 且这些三角形的并集是一个边长为  的正方形（该 正方形的顶点可以不是整点, 边可以不平行于坐标轴）.

17.求证: 存在正实数  和 , 使得对任意正整数  均存在  的子集 , 满足 , 且  中任意两个不同数的差不是完全平方数

18.(1) 求证: 在复平面上, 方程

的全体复根的凸包的面积大于 .

(2) 设  为正整数,  为  个正奇 数. 求证: 对任意和为 1 的  个复数  以 及任意模长不小于 1 的复数 , 方程

都至少有一个模长不超过  的复根.

第三天

19.在  的网格屏上, 每个单位方格初始时显 示红黄蓝三种颜色之一. 每一秒钟网格屏中所有单位方格 按如下方式同时变换颜色, 称为一轮变换:

• 对当前颜色是红色的单位方格 , 如果当前存在黄色 单位方格与它有公共边, 那么下一秒钟  变为黄色, 否 则  的颜色仍是红色;
• 对当前颜色是黄色的单位方格 , 如果当前存在蓝色 单位方格与它有公共边, 那么下一秒钟  变为蓝色, 否 则  的颜色仍是黄色;
• 对当前颜色是蓝色的单位方格 , 如果当前存在红色 单位方格与它有公共边, 那么下一秒钟  变为红色, 否 则  的颜色仍是蓝色.

求证: 如果在  轮变换后屏幕没有变成单一颜 色, 那么它将永远不会变成单一颜色.

20.在凸四边形  中,  的内心分别 为 . 已知  交于一点 . 过  且垂直于  的直线与  的外角平分线交于点 , 与  的外角平分线交于点 . 求证: .

21.求所有的函数 , 满足对任意实数 , 如下 两个可重集相等

第四天

22.求所有的质数  和正整数 , 满足

23.设  是正整数,  个非负实数  满足 . 求证: 存在非负整数 , 使得 , 且

其中下标按模  理解.

24.对正整数 , 用  表示  的所有正因子构成的集合. 设  是  的子集, 满足对任意 , 都有  不整除  且  也不整除 . 求证: