美国数学大联盟中数论专题常见词汇：

integer 整数                         odd 奇数              

even 偶数                             factor  因数 

multiple 倍数                        prime 质数

divisor 因数，除数               sum 和                

equal 等于                            add=plus 加法            

positive 正的，积极的          negative 负的，消极的

largest 最大的                       perfect square 完全平方数 

three-digit number 三位数    product 积 

consecutive 连续的               multiply=time 乘

ones/units digit 个位数字      tens digit 十位数字

 hundreds digit 百位数字      be equal to 等于           

be divisible by 被…整除       whole number 整数  

prime factorization 分解质因数   

高频考点

01

因数与倍数

1.Of the following, which is a factor of 20 × 14 × 20×15？

A）13           B）11             C）9      D）7

答案：D

翻译：下面哪个是20×14×20×15的因数？

解析：因为14是它的因数，而14是7的倍数，所以7是它的因数。

2.What is the difference between 27 and the product of all itswhole-number factors?

A）2           B）27             C）2×27       D）26×27

答案：D

翻译：27所有因数的乘积与27的差是多少？

解析：27的因数分别是：1、3、9、27，所以乘积是27×27，再减去27就是26×27。

3. A perfect number is a positive integer which is equal to the sum of its proper positive divisors. For example, 6 is a perfect number since 6 = 1 + 2 + 3.Which of the following is a perfect number?

A）29          B）101             C）121       D）496

答案：D

翻译：完美数是一个正整数，它等于它除了自己之外所有因数的和。比如：6是一个完美数，因为6=1+2+3.下面哪个数是完美数？

解析：29除自己以外的因数只有1，所以排除；101除了自身以外也只有1，也排除；121有1、11两个其他的因数，但是1+11不等于121，也排除。所以选D。

4. What is the difference between the largest divisor of 2016 that is less than 2016, and the smallest divisor of 1001 that is larger than 1?

A）2015        B）1008         C）1007        D）1001

答案：D

翻译：2016除了自身之外最大的因数与1001除了1之外最小的因数的差值是多少？

解析：2016最大的因数就是2016÷2=1008，而1001除了1之外最小的因数是7，1008-7=1001.

5.The prime factorization of a whole number less than 100 is the product of at most

（      ）primes (not necessarily different).          

A）3       B）4        C）5        D）6

答案：D

翻译：一个小于100的整数分解质因数最多能分成几个质数相乘？

解析：最小的质数就是2，所以要想质因数个数最多，就写成很多个2相乘的形式，6个2相乘是64，小于100，符合题意。

波波老师有话说：因数部分的难点就是找准这个数的因数到底有哪些，短除法分解质因数是一个常用的手段，会给做解题带来很多便利。另外，单词识记依然是一个重点，类似factor、prime等重点单词一定要牢记。

02

因数个数

1. Which of the following numbers has a primenumber of whole-number factors?

A）6       B）12        C）36        D）49

答案：D

翻译：下面哪个数字的因数个数是质数个？

解析：除了2之外，只有完全平方数的因数个数可能是质数个。直接排除A和B，36有9个因数，不是质数，所以排除。

2. How many divisors of 740?

A）12       B）14        C）16        D）18

答案：A

翻译：740有多少个因数？

解析：740用短除法分解质因数，写成740=2²×5×37，（2+1）×（1+1）×（1+1）=12。

3. How many divisors of 660 are odd?

A）6       B）8       C）10        D）12

答案：B

翻译：660有多少个奇因数？

解析：660=2²×3×5×11，奇数×奇数=奇数，所以看3×5×11，指数都是1，（1+1）×（1+1）×（1+1）=8。

4. How many divisors of 2016are even?

A）20       B）30       C）24        D）6

答案：B

翻译：2016有多少个偶数因数？

解析：2016=25×3²×7，算出有（5+1）×（2+1）×（1+1）=36个因数，奇因数有（2+1）×（1+1）=6个，所以偶数因数有30个。

波波老师有话说：因数的个数是美国数学大联盟经常出现的题目，而且一般会与奇偶性同时出现。这类题目利用奇×奇=奇、偶×偶=偶、奇×偶=偶等性质，再结合因数个数公式可快速解答。

做题技巧——排除法

排除法在数论问题当中是非常好用的方法，可以极大地提高做题速度。

1.The largest prime factor of 72 is ？

A）3       B）7       C）36        D）72

答案：A

翻译：72最大的质因数是多少？

解析：因为是质数，直接排除C和D，又因为72不能被7整除，所以排除B，因此选A。

2.What is the largest oddnumber that is a factor of 860?

A）430       B）215       C）172        D）43

答案：B

翻译：860最大的奇因数是多少？

解析：因为要求是奇数，直接排除A、C，另外要求最大的，把215带入验算，215×4=860，是860的因数，所以选B。

3.The largest prime factor of1 000 000 000 is？

A）1       B）2      C）5        D）10

答案：C

翻译：1000000000最大的质因数是多少？

解析：要求是质数，排除A、D，最大的质因数，5大于2，故选5。

总结：美国大联盟的数论题目里，因数与倍数的题量占一半左右，难度适中。第一个考察点就是专业英文名词的掌握，第二个是对短除法和因数个数公式的熟练运用。掌握好这两点，大部分的因数与倍数题都能够快速解决。排除法也是非常实用的方法，可以极大地提高做题速度。

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