01 完全平方数与质数

    这周小朋友发道华杯赛数论的题目给我，以完全平方数和数论为背景的新定义问题，题目如下：

    【题目】设q是一个平方数，如果q-2和q+2都是质数，就称q是“P型平方数”，例如9就是一个P型平方数，那么小于1000的最大P型平方数是（    ）

    拿到题目后，很多孩子不知道从何入手，这道题目我们需要先自然数的分类入手来考虑，自然数的分类可分为奇数和偶数，其分类标准是从余数的角度来划分的，比如所有的奇数除以2的余数都是1，所有的偶数除以2的余数都是0，即除以2的余数分类，可以将自然数分成2类，即奇数和偶数。

    推而广之，我们可将自然数分成以“除以3的余数来分类”将自然数分成3类，

    ①除以3余0的自然数；

    ②除以3余1的自然数；

    ③除以3余2的自然数。

    由上述基本结论后，我们就可以解决上述问题：

    因为q是一个完全平方数，故设q=n²，

    因为q-2是质数，所以q-2≥2，即q≥4

    又因为q小于1000，所以4≤q≤1000，即4≤n²≤1000

    因为31²=961,32²=1024，

    所以2≤n≤31

    因为n²-2和n²+2都是质数，因此n不可能是偶数，故我们只需考虑2~31中的奇数，我们将奇数n的平方按照除以3的余数分成三类，即除以3余0，除以3余1，除以3余2三类：

    若奇数n的平方除以3余2，根据余数定理可知，n²-2一定是3的倍数，则n²-2不是质数，故n的平方除以3的余数不可能余2

    若奇数n的平方除以3余1，根据余数定理可知，n²+2一定是3的倍数，则n²+2不是质数，故n的平方除以3的余数不可能余1

    即我们只需考虑奇数n的平方除以3余0，即n必定能被3整除，因此只需要考虑2-32种能被3整除的奇数，即n只能为3、9、15、21、27。

    当n=27时，27²=729，729+2=731=17×43，因此729不是P型平方数。

    当n=21时，21²=441，因为439和443都是质数，因此小于1000的最大P型质数为441，此时n的值为21.

    02 分解质因数

 

    接下来我们来看到我给备考德旺杯小朋友准备的一道题目，有兴趣的小朋友可以看一看：

     【题目】2016名同学排成一排，从左到右依次按照1、2、3、……、n 的顺序报号，若第2016名同学所报的数是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件礼物，那么无论n取何值时，有（    ）名同学不可能拿到礼物。

    解析：本题主要考察整除和分解质因数问题。

    首先2016名同学报数为n，则n|2016

    又因为2016=2×2×2×2×2×3×3×7，

    因此只要编号不是2、3、7及其倍数的同学都不可能得到礼物，

    又因为[2、3、7]=42，

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42

    先划去2的倍数，再划去3的倍数，然后再划去7的倍数，最后剩下12个数不是2、3、7的倍数，

    即每42个数中有12个数不是2、3、7的倍数，

    因此共有2016÷42×12＝576名同学拿不到礼物。