网络上已经有很多高手给出了本题的解法，本文拟记录一下本人对此题的思考过程，并整理见到的各个高手的解答。并作简单评述。然后挖掘本题的来源及各个解法的本质，希望整理出此题的来龙去脉、前世今生。

首先画出准确的图形，图形很好画。设I为BE、CF交点。

其次挖掘图形的基本性质，圆内接六边形性质不太多，

最有名气的性质就是帕斯卡定理：圆内接六边形

对边交点，凡三点共线。对六边形ABEDCF由此定理

即得GIH共线。这个结论很可能有用。对于圆心M，

要么用OM为BC中垂线，要么用MB=MG=MC，要么用圆心角

为圆周角的二倍。但似乎都不太好用。

然后从结果入手，需证MN,BE,CF三线共点。即证MIN共线。

感觉直线MN、MI都不好描述。也就没法证明MN过I了。

再次回到已知图形中去，挖掘图形的性质。重点研究外心M、N，

加上前面得到GIH共线。由对称性，GM、HN应该具有类似的性质，

结合准确的图形，可以发现似乎有GM//HN，即圆M、圆N关于I位似。进而即得MIN共线。

欲证明GM//HN，即圆M、圆N关于I位似，即证GM/HN=GI/IH。

我对帕斯卡定理结构还是比较熟悉的，我的理解是，帕斯卡定理结构的本质是一个恒等式。

即如图所示的圆内接六边形

ACEBFD,GIH共线，且有

事实上，此结论可以和A无关，

可以隐去AC,AD,

即如图，有上述恒等式。

可以理解为退化的六边形BGHIDC相间三边乘积相等。

由正弦定理即可证明。

此恒等式叶中豪老师经常提到，可以说是帕斯卡定理结构的精髓所在，

由此结论即可证明帕斯卡定理。

凭感觉，两个比例式应该是等价的。这个不难证明。

由正弦定理：

从而需证

此即为此帕斯卡结构中的恒等式。

将上述思路整理一下，可以发现不需要使用帕斯卡定理，

只要使用正弦定理，由同一法或者利用对称性即可得证。

具体证明过程如下：

证明：

设BE,CF交GH于I，由正弦定理：

从而两圆关于I点位似,则MIN共线，

对称的，有CIF共线,

从而BE,CF,MN共点于I。

上述证法是按我的思路写的，为第一种证法。网上各路高手也纷纷给出了精彩纷呈的解法。

金春来老师指出这是一个经典的问题，他三年前给学生讲过，他的证明如下，此为证法二。

他的基本思路是利用三角形的位似证明的三点共线。

姚佳斌老师指出，此题等价于他前段时间在我们爱几何上发表的下题：

顾冬华老师对姚佳斌老师这个题的证明辅助线如下：

不难发现，顾冬华老师和金春来老师英雄所见略同，都是作出两个圆与对边交点，使用位似证明的三点共线，两种解法异曲同工，基本算是同一种解法。

占岩老师也给出了他的解答，如下。

占岩老师一向文思敏捷、惜墨如金，前面估计省去了sin，读起来有点拗口。他的大体思路估计和我的类似，也是通过正弦定理计算完成的。不过他是通过证明和相等的两组锐角正弦比相同得到等角的。此为证法三。

赵力医生给出了几篇参考文献[1][2]，文献指出此问题为Dao Thanh Oai于2014年贴出的如下结论（有人称为Dao定理）：

当然此类问题都和帕斯卡定理有关。下面介绍帕斯卡定理的常见的三种证明方法。

证法一：设GI交CD,AF于H，H',由正弦定理:

由于此表达式关于DC,FA对称，故H,H'重合，即结论成立。

证法二：

∠DEF=∠DCF=HMF,

∴DE//HM,

同理HN//AB,MN//EB,

∴△GBE与△HNM位似且I为位似中心，

∴GHI共线。

证法三：设各角如图，显然有

结合角元塞瓦得

故∠DHG=∠CHI，则GHI共线。