数学奥林匹克小丛书--初中卷:三角形“四心”之一的重心

上海小升初
上海小升初 这家伙很懒,还没有设置简介

0 人点赞了该文章 · 200 浏览




正文



第七章   三角形的四心   

    本节重点: 三角形的重心、外心、内心、垂心及其基本性质
    我们可以证明:三角形的三条中线、三边的中垂线、三角的角平分线、三边的垂线各交于一点,本章节我们将学习重心、外心、内心及垂心的定义,并了解他们的具体性质和有用的定理。

    首先我们介绍重心

  •  定义
三角形三条中线交于一点,称为重心
证明:由塞瓦定理易证.
  •  性质
三角形的重心到一边中点的距离等于这条边上的中线之长的三分之一
证明:由共边比例定理易证.

    由此性质可以得知,重心始终是所在中线的三等分点,反过来,如果一个点是所在中线的三等分点(接近顶点),那么它一定是该三角形的重心。

    下面来看第一题:

图片

    题目中给出了两个重心,很自然想到作出各自边上的中线,利用重心是三等分点这一性质解决问题。下面思路一与书上的想法一致,思路二则更为简洁。

图片

图片


    接下来我们尝试挑战一下例8,这道题有一定难度,需要证明正反两面,考察了线段比例式的运算和重心的判定。

图片

图片

图片

图片


拓展应用
1、像例8这样,在处理动态线条经过定点的问题中,我们通常添加两条动态线得到交点,从而确定所谓定点的位置。
2、重心的其他基本性质:

图片



发布于 2024-04-23 13:19

免责声明:

本文由 上海小升初 原创发布于 家长帮 ,著作权归作者所有。

登录一下,更多精彩内容等你发现,贡献精彩回答,参与评论互动

登录! 还没有账号?去注册

暂无评论

广告
All Rights Reserved Powered BY WeCenter V4.1.0 © 2025 京ICP备20005761号-2