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数学奥林匹克小丛书--初中卷：三角形的内心

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第七章 三角形的四心

本节重点：三角形的重心、外心、内心、垂心及其基本性质

前三节我们分别学习了重心、外心、垂心，参见近期的文章：

重心：数学奥林匹克小丛书--初中卷：三角形“四心”之一的重心

外心：数学奥林匹克小丛书--初中卷：三角形的外心

垂心：数学奥林匹克小丛书--初中卷：三角形的垂心

接下来介绍内心：

定义

三角形三条角平分线交于一点，称为内心

证明：由塞瓦定理或者角平分线的性质易证.

内心作为三角形内切圆的圆心，常常与面积联系起来，接下来看一道例题：

题目中出现了重心、内心，因此我们连接对应线段，借助中线、角平分线的性质来解决问题。

拓展应用

1、教材上采用了面积法进行推导，因为内心到三边的距离相等，因此△AIB、△BIC、△CIA三个三角形面积之比等于底边之比，由于IG∥BC，故△BIC和△BGC面积也相等，从而发现：

S_{△AIB}+S_{△CIA}=2S_{△BIC}

在此基础上也可证明AB+AC=2BC.

2、内心的其他基本性质：

发布于 2024-04-23 10:48

北京中学

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