[题目](2022，北京东城高三期末，19)已知椭圆C：

过点A(-√3,0)，其右焦点为F(1,0)。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆C上一动点(不在x轴上)，M为AP中点，过原点O作AP的平行线，与直线x=3交于点Q。问：直线OM与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由。

 

[解析]1）根据已知可得，a=√3，c=1。所以b²=a²-c²=3-1=2。因此，椭圆C的方程为，

 

2）方法一：设线法。

由于点P不在x轴上，所以直线AP的斜率k≠0，所以设直线AP的方程为：x=ty+√3。

与椭圆C的方程联立得，

消去x，得到一个关于y的一元二次方程，

设P(x0,y0)。A(-√3,0)，利用根与系数的关系，得

由于点M为AP的中点，所以有

代入直线AP的方程，得

即有

直线OQ的方程为，

令x=3，解得，

即有

于是，直线OM的斜率为，

直线FQ的斜率为，

从而，直线OM与直线FQ的乘积为，

即为定值-1。

方法二：设点法。

设点P(x0,y0)，其中x0≠0。由于点P在椭圆C上，所以有，

直线AP的中点M的坐标为，

直线AP的斜率为，

由于直线OQ∥直线AP，且过原点，所以直线OQ的方程为，

令x=3，得

即有

于是，直线OM的斜率为，

直线FQ的斜率为，

从而，直线OM与直线FQ的乘积为，

由(*)式可得，

代入前式，有

即为定值-1。