[题目](2022，北京西城高三期末，19)已知椭圆M：

的焦点为F(2,0)，长轴长与短轴长的比值为√2。

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆M交于A,B两点，BC⊥x轴于点C，AD⊥x轴于点D，直线BD交直线x=4于点E，求△ECD与△EAB的面积之比。

 

[解析]1）由于椭圆M的焦点为F(2,0)，所以c=2。长轴长与短轴长的比值为√2，于是有

又根据椭圆的性质a²=b²+c²，因此

从而，椭圆C的方程为，

 

2）当直线l的斜率为0时，不满足题意。设直线l的方程为：x=ty+2。

与椭圆M的方程联立得，

消去x，得到一个关于y的一元二次方程，

其中，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)。利用根与系数的关系，得

注意到

由于BC⊥x轴于点C，AD⊥x轴于点D，所以C(x2,0),D(x1,0)。

直线BD的斜率和方程为，

令x=4，解得，

即有

△ECD的面积为，

AB的弦长为，

将直线AB的方程改写为一般式，得

于是，点E到直线AB的距离为，

其中

△EAB的面积为，

从而△ECD与△EAB的面积之比，

将(*)代入，有

即△ECD与△EAB的面积之比为1。