源起

今年华数之星小中组第1题考察正四面题的展开方式。

一种团状，一种条状，一共两种，很多同学事后反馈，做的非常不好，对立体图形理解不好。

华数之星的小中和小高第3题同时考察到了染色传球的问题：

6.3华数之星小高组解析

6.3华数之星小中组解析

难度谈不上多大，当然做的也不尽如任意。所以我想，立体的，计数的东西同学们是既能够理解，又易错，能够作为区分的内容，所以和大家分享几道立体图形对称类计数问题：

正四面体染色

用4种不同的颜色给正四面体染色，旋转、翻转相同的算一种，共有___种染法

如何解决这个问题呢？其实关键在于理解好“旋转、翻转相同的算一种”这一句话，它会导致很多看似不同的染色方法结果是同一种。如果没有这一句就简单了，染色的方法：4×3×2×1=24（种），只是有重复，去掉重复即可，首先确定不翻转的问题，正四面体是个面完全相同，固定底面，那么4种会变为1种，再确定不旋转，固定底面后3个面旋转对称，3变1，那么实际

4×3×2×1÷4÷3=2（种）

咱们从三个层面理解÷4÷3

1、从本质上讲，就是底面固定后，有顺时针和逆时针两种可能性而已。

2、÷4是翻转对称4种，÷3是旋转对称3种

3、我们思考用1，1,2,2能组成多少个四位数，是不是也是类似的方法

4×3×2×1÷（2×1）÷（2×1）=6（种），就是除掉了顺序

正方体染色

用6种不同的颜色给正方题染色，每个面一种颜色，每种颜色都使用，旋转、翻转相同的算一种，共有___种染法

法1：先染色，后除序：6×5×4×3×2×1÷6÷4=30（种）

翻转对称6种，旋转对称4种

法2：固定底面，再选顶面有5种选法，不妨设为A/B两色，接下来固定前面，剩下3种颜色，3×2×1=6种，乘法原理 5×6=30（种）

不完全对称类

用红、黄、蓝、绿四种颜色的涂料给一个正方体涂色，每种颜料都要用上，则不同的涂色方法共有多少种（经过上下旋转、左右旋转变成一样的属于同一种涂法）?

四种颜色都要用，因此有四个面分别涂了不同颜色，余下两个面或者同色，或者不同色. 

情况1∶余下的2个面同色.说明某种颜色用了3次，这种颜色有C（4，1）=4 种可能.

再分为2种情形∶

①三个同色的面两两相邻，此时余下三个未涂色的面的"地位"对称. 先随便选1个面涂黄色，这时余下2个面地位不同，有2×1=2（种）涂法;

②三个涂色的面中有两个在对面，不妨设底面、顶面与后面同色 . 此时前面有3种颜色可选，余下左右2个面地位相同.

因此情况1有4×（3+2）=20（种）涂法.

情况2∶余下的2个面不同色，选2种颜色分别涂2个面，有C（4，2）=6（种）可能. 不妨设红、黄用了2次，蓝、绿用了1次，再分为2种情形∶

①蓝、绿两面相对，此时余下4个面地位相同.选2个面涂红色，有2种可能（相邻/相对）;

②蓝、绿两面相邻，总可以将底面固定为蓝色，后面固定为绿色.此时正方体不可旋转.

余下4个面地位不同，选2个面涂红色，有C（4,2）=6（种）可能. 

因此情况2有6×（2+6）= 48（种）涂法. 综上所述，共有20＋48 =68（种）涂法.

做个简单练习：

从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每面涂1色，使得每两个有公共棱的相邻面都异色，问不同的方案有几种？（经过翻转、旋转后得到的算同一种填法。

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